Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

$\begin{cases} x + y + (m + 1)z = 2 \\ x + (m - 1)y + 2z = 1 \\ 2x + my + z = -1 \end{cases}$

Discuta el sistema según los valores de $m \in \mathbb{R}$. [2 puntos]

Se aplica el teorema de Rouché-Frobenius: se comparan el rango de la matriz de coeficientes y el de la ampliada entre sí y con el número de incógnitas, que es 3.

$A=\begin{pmatrix}1&1&m+1\\1&m-1&2\\2&m&1\end{pmatrix}\ ;\qquad A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&m+1&2\\1&m-1&2&1\\2&m&1&-1\end{array}\right)$

Empezamos por el determinante de la matriz de coeficientes, desarrollándolo por la primera fila.

$|A|=1\begin{vmatrix}m-1&2\\m&1\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}1&2\\2&1\end{vmatrix}+(m+1)\begin{vmatrix}1&m-1\\2&m\end{vmatrix}$

$=(m-1-2m)-(1-4)+(m+1)(m-2m+2)=(-m-1)+3+(m+1)(2-m)$

$=-m+2+2m-m^{2}+2-m=4-m^{2}$

$4-m^{2}=0\ \Rightarrow\ m=\pm2$

$\text{Si }m\neq2\ \text{y}\ m\neq-2:\quad |A|\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=3=\text{n.º de incógnitas}$

El sistema es compatible determinado y tiene solución única.

Estudiamos ahora los dos valores que anulan el determinante.

$m=2:\quad A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&3&2\\1&1&2&1\\2&2&1&-1\end{array}\right)$

Las dos primeras columnas de $A$ son iguales, así que el rango no llega a 3; el menor formado por la primera y la tercera columnas de las dos primeras filas no es nulo:

$\begin{vmatrix}1&3\\1&2\end{vmatrix}=2-3=-1\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}(A)=2$

Para la ampliada orlamos ese menor con la tercera fila y la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix}1&3&2\\1&2&1\\2&1&-1\end{vmatrix}=-2+6+2-8-1+3=0$

El orlado con la tercera columna de $A$ es el propio $|A|$, que también es nulo, y el orlado con la segunda columna coincide con este último por ser iguales las columnas primera y segunda. Por tanto $\operatorname{ran}(A^{*})=2$:

$m=2:\quad \operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=2<3\ \Rightarrow\ \text{sistema compatible indeterminado}$

$m=-2:\quad A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&2\\1&-3&2&1\\2&-2&1&-1\end{array}\right)$

$\begin{vmatrix}1&1\\1&-3\end{vmatrix}=-4\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}(A)=2$

Orlando con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix}1&1&2\\1&-3&1\\2&-2&-1\end{vmatrix}=3+2-4+12+2+1=16\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}(A^{*})=3$

$m=-2:\quad \operatorname{ran}(A)=2\neq3=\operatorname{ran}(A^{*})\ \Rightarrow\ \text{sistema incompatible}$

En resumen: el sistema es compatible determinado si $m\neq\pm2$, compatible indeterminado si $m=2$ e incompatible si $m=-2$.