Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

Uno de cada 7 deportistas de la selección española de gimnasia deportiva será elegido para las próximas olimpiadas. Se escogen aleatoriamente y de modo independiente 9 deportistas de dicha selección española.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean elegidos exactamente 2 de estos 9 deportistas para las próximas olimpiadas? [0,8 puntos]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que alguno (al menos 1) de estos 9 deportistas sea elegido para las próximas olimpiadas? [1,2 puntos]

$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean elegidos exactamente 2 de estos 9 deportistas para las próximas olimpiadas? [0,8 puntos]}$

Se eligen 9 deportistas de manera aleatoria e independiente y de cada uno interesa solo si va a las olimpiadas o no, con la misma probabilidad en todos los casos: es una distribución binomial.

$X\equiv$ número de deportistas elegidos entre los 9 seleccionados

$X\sim B\left(9;\,\dfrac{1}{7}\right)\ \Rightarrow\ P(X=k)=\binom{9}{k}\left(\dfrac{1}{7}\right)^{k}\left(\dfrac{6}{7}\right)^{9-k}$

$P(X=2)=\binom{9}{2}\left(\dfrac{1}{7}\right)^{2}\left(\dfrac{6}{7}\right)^{7}=36\cdot\dfrac{1}{49}\cdot\left(\dfrac{6}{7}\right)^{7}$

El número combinatorio y el denominador se combinan de manera curiosa, porque $\frac{36}{49}=\left(\frac{6}{7}\right)^{2}$:

$P(X=2)=\left(\dfrac{6}{7}\right)^{2}\left(\dfrac{6}{7}\right)^{7}=\left(\dfrac{6}{7}\right)^{9}\approx0{,}2497$

La probabilidad de que sean elegidos exactamente 2 de los 9 deportistas es $\left(\frac{6}{7}\right)^{9}\approx0{,}2497$, es decir, un $24{,}97\ \%$.

$\textbf{b) ¿Cuál es la probabilidad de que alguno (al menos 1) de estos 9 deportistas sea elegido para las próximas olimpiadas? [1,2 puntos]}$

Que sea elegido alguno significa uno o más. Sumar los nueve casos sería largo; el suceso contrario, que no sea elegido ninguno, tiene un solo caso.

$P(X\geq1)=1-P(X=0)$

$P(X=0)=\binom{9}{0}\left(\dfrac{1}{7}\right)^{0}\left(\dfrac{6}{7}\right)^{9}=\left(\dfrac{6}{7}\right)^{9}\approx0{,}2497$

$P(X\geq1)=1-\left(\dfrac{6}{7}\right)^{9}\approx1-0{,}2497=0{,}7503$

La probabilidad de que alguno de los 9 deportistas sea elegido es $1-\left(\frac{6}{7}\right)^{9}\approx0{,}7503$, es decir, un $75{,}03\ \%$. Obsérvese que esta probabilidad y la del apartado anterior son complementarias: no por casualidad, sino porque $P(X=2)$ resultó ser exactamente $P(X=0)$.