Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Calcule la ecuación de la recta que pasa por el punto $(1, -2, 0)$ y es perpendicular al plano determinado por los puntos $(1, 0, 1)$, $(3, 1, 0)$ y $(2, -1, 1)$. Exprésela como intersección de dos planos. [2 puntos]

La recta ha de ser perpendicular al plano que determinan los tres puntos, y una recta perpendicular a un plano tiene por vector director el vector normal de ese plano. El plan es, pues: hallar la normal del plano con un producto vectorial y escribir después la recta que pasa por el punto dado con esa dirección.

i) Vectores del plano. Tomamos como origen el primero de los tres puntos, $P(1,0,1)$, y llamamos $Q(3,1,0)$ y $R(2,-1,1)$ a los otros dos.

$\overrightarrow{PQ}=(3,1,0)-(1,0,1)=(2,1,-1)\ ;\qquad \overrightarrow{PR}=(2,-1,1)-(1,0,1)=(1,-1,0)$

ii) Vector normal del plano:

$\vec n=\overrightarrow{PQ}\times\overrightarrow{PR}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\2&1&-1\\1&-1&0\end{vmatrix}=(0-1)\vec i-(0+1)\vec j+(-2-1)\vec k=(-1,-1,-3)$

Los tres puntos no están alineados, ya que el producto vectorial no es nulo, y por tanto determinan un plano. Su ecuación, aunque no la pida el enunciado, es $\pi:\ x+y+3z-4=0$, y sirve para comprobar que el punto $(1,-2,0)$ no pertenece a él:

$1+(-2)+3\cdot0-4=-5\neq0$











iii) Dirección de la recta. Se puede cambiar el signo del vector normal, porque un director está determinado salvo un factor no nulo:

$\vec v_{r}=-\vec n=(1,1,3)$





iv) Ecuación de la recta. Con el punto $(1,-2,0)$ y el director $(1,1,3)$, la forma continua es

$r:\ \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z}{3}$

Igualando por parejas se obtienen las dos ecuaciones implícitas. De la primera igualdad:

$x-1=y+2\ \Rightarrow\ x-y-3=0$

De la segunda:

$3(y+2)=z\ \Rightarrow\ 3y-z+6=0$

Comprobamos que el punto $(1,-2,0)$ verifica ambas: $1+2-3=0$ y $-6-0+6=0$.

La recta pedida es $r:\begin{cases}x-y-3=0\\3y-z+6=0\end{cases}$.