Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado el siguiente sistema:

$\begin{cases} 3x - y + 2z = 1 \\ x + 4y + z = 3 \\ 2x - 5y + az = -2 \end{cases}$

a) Discuta según los valores de $a \in \mathbb{R}$ qué tipo de sistema es atendiendo a sus posibles soluciones. [1 punto]

b) Resuelva el sistema para $a = 0$. [1 punto]

$\textbf{a) Discuta según los valores de } \boldsymbol{a \in \mathbb{R}}\textbf{ qué tipo de sistema es atendiendo a sus posibles soluciones. [1 punto]}$

Se aplica el teorema de Rouché-Frobenius comparando los rangos de la matriz de coeficientes y de la ampliada con el número de incógnitas, que es 3.

$A=\begin{pmatrix}3&-1&2\\1&4&1\\2&-5&a\end{pmatrix}\ ;\qquad A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}3&-1&2&1\\1&4&1&3\\2&-5&a&-2\end{array}\right)$

$|A|=\begin{vmatrix}3&-1&2\\1&4&1\\2&-5&a\end{vmatrix}=12a-2-10-16-(-15)-(-a)=13a-13$

$13a-13=0\ \Rightarrow\ a=1$

$\text{Si }a\neq1:\quad |A|\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=3=\text{n.º de incógnitas}$

En ese caso el sistema es compatible determinado.

Para $a=1$ el determinante se anula, pero queda un menor de orden 2 no nulo:

$\begin{vmatrix}3&-1\\1&4\end{vmatrix}=13\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}(A)=2$

En la matriz ampliada se observa que la tercera fila es la diferencia de las dos primeras, término independiente incluido:

$F_{1}-F_{2}=(3-1,\ -1-4,\ 2-1\ |\ 1-3)=(2,\ -5,\ 1\ |\ -2)=F_{3}$

La tercera ecuación no aporta información nueva, de modo que $\operatorname{ran}(A^{*})=2$.

$a=1:\quad \operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=2<3=\text{n.º de incógnitas}$

En ese caso el sistema es compatible indeterminado, con un grado de libertad. No es incompatible para ningún valor del parámetro.

$\textbf{b) Resuelva el sistema para } \boldsymbol{a = 0}\textbf{. [1 punto]}$

Para $a=0$ se tiene $|A|=-13\neq0$, así que el sistema es compatible determinado y tiene solución única.

$\begin{cases}3x-y+2z=1\\x+4y+z=3\\2x-5y=-2\end{cases}$

Restamos a la primera ecuación el doble de la segunda para eliminar $z$:

$(3x-y+2z)-2(x+4y+z)=1-6\ \Rightarrow\ x-9y=-5\ \Rightarrow\ x=9y-5$

Sustituyendo en la tercera ecuación:

$2(9y-5)-5y=-2\ \Rightarrow\ 18y-10-5y=-2\ \Rightarrow\ 13y=8\ \Rightarrow\ y=\dfrac{8}{13}$

$x=9\cdot\dfrac{8}{13}-5=\dfrac{72-65}{13}=\dfrac{7}{13}$

De la segunda ecuación se despeja la incógnita que falta:

$z=3-x-4y=3-\dfrac{7}{13}-\dfrac{32}{13}=\dfrac{39-39}{13}=0$

Comprobamos en la primera ecuación: $\frac{21}{13}-\frac{8}{13}+0=\frac{13}{13}=1$.

La solución única del sistema para $a=0$ es $(x,y,z)=\left(\frac{7}{13},\frac{8}{13},0\right)$.