Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Para la siguiente función

$f(x) = \dfrac{e^{x}}{x^{3} - x}$

a) Estudie la existencia de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas. Calcúlelas cuando existan. [1,25 puntos]

b) Calcule la recta tangente a la curva en el punto $x = 2$. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Estudie la existencia de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas. Calcúlelas cuando existan. [1,25 puntos]}$

La función es el cociente de una exponencial, que no se anula nunca, y de un polinomio. Sus posibles asíntotas verticales están en las raíces del denominador.

$x^{3}-x=x\left(x^{2}-1\right)=x(x-1)(x+1)=0\ \Rightarrow\ x=0,\ x=1,\ x=-1$

$\text{Dom}\,f=\mathbb{R}-\{-1,\,0,\,1\}$

En los tres puntos el numerador vale $e^{x}>0$, de modo que los tres son asíntotas verticales. Estudiamos los límites laterales atendiendo al signo de cada factor del denominador:

$\displaystyle\lim_{x\to-1^{-}}\dfrac{e^{x}}{x(x-1)(x+1)}=\dfrac{e^{-1}}{0^{-}}=-\infty\ ;\qquad \lim_{x\to-1^{+}}=\dfrac{e^{-1}}{0^{+}}=+\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to0^{-}}\dfrac{e^{x}}{x(x-1)(x+1)}=\dfrac{1}{0^{+}}=+\infty\ ;\qquad \lim_{x\to0^{+}}=\dfrac{1}{0^{-}}=-\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to1^{-}}\dfrac{e^{x}}{x(x-1)(x+1)}=\dfrac{e}{0^{-}}=-\infty\ ;\qquad \lim_{x\to1^{+}}=\dfrac{e}{0^{+}}=+\infty$

Para las asíntotas horizontales hay que separar los dos infinitos, porque la exponencial se comporta de manera muy distinta en cada uno.

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{e^{x}}{x^{3}-x}=\dfrac{0}{-\infty}=0\ \Rightarrow\ y=0\ \text{es asíntota horizontal cuando }x\to-\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x^{3}-x}=\dfrac{\infty}{\infty}=+\infty$

La indeterminación se resuelve aplicando tres veces la regla de L'Hôpital: cada derivada rebaja el grado del denominador y deja intacta la exponencial, hasta llegar a $\lim e^{x}/6=+\infty$. No hay, por tanto, asíntota horizontal por la derecha.

Tampoco hay asíntota oblicua por la derecha, porque la pendiente no es finita:

$m=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x^{4}-x^{2}}=+\infty$

Por la izquierda tampoco puede haberla, ya que allí existe asíntota horizontal.

En resumen: tres asíntotas verticales, $x=-1$, $x=0$ y $x=1$; una asíntota horizontal, $y=0$, solo cuando $x\to-\infty$; y ninguna asíntota oblicua. Por la derecha la gráfica presenta una rama que crece más deprisa que cualquier recta.

$\textbf{b) Calcule la recta tangente a la curva en el punto } \boldsymbol{x = 2}\textbf{. [0,75 puntos]}$

El punto $x=2$ pertenece al dominio. Calculamos el punto de la curva y la derivada en él.

$f(2)=\dfrac{e^{2}}{2^{3}-2}=\dfrac{e^{2}}{6}$

$f'(x)=\dfrac{e^{x}\left(x^{3}-x\right)-e^{x}\left(3x^{2}-1\right)}{\left(x^{3}-x\right)^{2}}=\dfrac{e^{x}\left(x^{3}-3x^{2}-x+1\right)}{\left(x^{3}-x\right)^{2}}$

$f'(2)=\dfrac{e^{2}(8-12-2+1)}{6^{2}}=\dfrac{-5e^{2}}{36}$

$y-\dfrac{e^{2}}{6}=-\dfrac{5e^{2}}{36}(x-2)$

$y=-\dfrac{5e^{2}}{36}x+\dfrac{10e^{2}}{36}+\dfrac{6e^{2}}{36}=-\dfrac{5e^{2}}{36}x+\dfrac{4e^{2}}{9}$

La recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x=2$ es $y=-\frac{5e^{2}}{36}x+\frac{4e^{2}}{9}$.