Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2021

Se desea construir un depósito con forma de prisma regular de base cuadrada. Además, el depósito es abierto (sin tapa superior). La capacidad total debe ser de $64\ \text{m}^{3}$. El material de construcción de los laterales tiene un precio de 70 euros por $\text{m}^{2}$, mientras que el de la base, más resistente, es de 140 euros por $\text{m}^{2}$. Halle las dimensiones del depósito para que tenga el menor coste posible. [2 puntos]

Se llaman $x$ al lado de la base cuadrada y $y$ a la altura del depósito, ambos en metros. La capacidad es un dato fijo y sirve para escribir una variable en función de la otra; el coste queda entonces como función de una sola variable y se busca su mínimo.











$V=x^{2}y=64\ \Rightarrow\ y=\dfrac{64}{x^{2}}$

El depósito no tiene tapa, de modo que la superficie es la base, $x^{2}$, más las cuatro caras laterales, $4xy$.

$C=140x^{2}+70\cdot4xy=140x^{2}+280xy$





Sustituimos la altura para dejar el coste en función del lado de la base:

$C(x)=140x^{2}+280x\cdot\dfrac{64}{x^{2}}=140x^{2}+\dfrac{17\,920}{x},\qquad x>0$

Derivamos y anulamos la derivada para localizar los puntos críticos:

$C'(x)=280x-\dfrac{17\,920}{x^{2}}$

$C'(x)=0\ \Rightarrow\ 280x=\dfrac{17\,920}{x^{2}}\ \Rightarrow\ x^{3}=\dfrac{17\,920}{280}=64\ \Rightarrow\ x=4$

Comprobamos con la segunda derivada que se trata de un mínimo:

$C''(x)=280+\dfrac{35\,840}{x^{3}}\ \Rightarrow\ C''(4)=280+560=840>0$

La segunda derivada es positiva en todo el dominio, luego en $x=4$ hay un mínimo relativo que, por ser el único extremo, es el mínimo absoluto.

$y=\dfrac{64}{4^{2}}=\dfrac{64}{16}=4$

$C(4)=140\cdot16+\dfrac{17\,920}{4}=2240+4480=6720$

El depósito más barato es el de base cuadrada de $4$ m de lado y $4$ m de altura, y su coste es de $6720$ euros.