Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule el siguiente límite:

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \left( \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}x\right) \right)^{\frac{1}{(1 - x)^{2}}}$

[2 puntos]

La base tiende a $\operatorname{sen}\frac{\pi}{2}=1$ y el exponente a $+\infty$, así que se trata de la indeterminación $1^{\infty}$. Se resuelve con la fórmula asociada al número $e$.

$\displaystyle\lim_{x\to1}\left(\operatorname{sen}\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)\right)^{\frac{1}{(1-x)^{2}}}=e^{\,\Lambda},\qquad \Lambda=\lim_{x\to1}\dfrac{\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}x\right)-1}{(1-x)^{2}}$

El límite que queda es del tipo $\frac{0}{0}$. Aplicamos la regla de L'Hôpital:

$\Lambda=\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\frac{\pi}{2}\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)}{-2(1-x)}=\dfrac{0}{0}$

Vuelve a aparecer la indeterminación, así que se deriva otra vez:

$\Lambda=\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{-\frac{\pi^{2}}{4}\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}x\right)}{2}=\dfrac{-\frac{\pi^{2}}{4}\cdot1}{2}=-\dfrac{\pi^{2}}{8}$

$\displaystyle\lim_{x\to1}\left(\operatorname{sen}\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)\right)^{\frac{1}{(1-x)^{2}}}=e^{-\frac{\pi^{2}}{8}}\approx0{,}2912$

El límite pedido vale $e^{-\pi^{2}/8}\approx0{,}2912$.