Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2021

La cantidad de hierro en suero de una mujer adulta sigue una distribución normal de media 120 $\mu\text{g/dl}$ y desviación típica 30 $\mu\text{g/dl}$. Se considera que una mujer tiene un tipo de anemia por falta de hierro si su cantidad de hierro no llega a 75 $\mu\text{g/dl}$.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer adulta tenga anemia por falta de hierro? [1 punto]

b) El 45 % de mujeres adultas tienen una cantidad de hierro en suero superior a $k$. Averigüe el valor de $k$. [1 punto]

$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer adulta tenga anemia por falta de hierro? [1 punto]}$

Llamamos $X$ a la cantidad de hierro en suero, en microgramos por decilitro, de una mujer adulta. Según el enunciado sigue una distribución normal de media 120 y desviación típica 30, y hay anemia por falta de hierro cuando esa cantidad no llega a 75.

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(120;\,30)$

Tipificamos restando la media y dividiendo por la desviación típica:

$P(X<75)=P\left(Z<\dfrac{75-120}{30}\right)=P(Z<-1{,}5)$

La tabla solo recoge valores positivos, así que se aprovecha la simetría de la campana respecto del eje de ordenadas:

$P(Z<-1{,}5)=P(Z>1{,}5)=1-P(Z\leq1{,}5)=1-0{,}9332=0{,}0668$



La probabilidad de que una mujer adulta tenga anemia por falta de hierro es $0{,}0668$, es decir, un $6{,}68\ \%$.

$\textbf{b) El 45 } \boldsymbol{\%}\textbf{ de mujeres adultas tienen una cantidad de hierro en suero superior a } \boldsymbol{k}\textbf{. Averigüe el valor de } \boldsymbol{k}\textbf{. [1 punto]}$

Ahora el dato es la probabilidad y la incógnita es el valor de la variable: se recorre la tabla al revés. Se pasa primero la cola derecha a área acumulada por la izquierda, que es lo que la tabla recoge.

$P(X>k)=0{,}45\ \Rightarrow\ P(X\leq k)=1-0{,}45=0{,}55$

$P\left(Z\leq\dfrac{k-120}{30}\right)=0{,}55$

Buscamos en el interior de la tabla el valor $0{,}55$. No aparece exactamente: los valores más próximos son $0{,}5478$, que corresponde a $z=0{,}12$, y $0{,}5517$, que corresponde a $z=0{,}13$. El segundo se aparta menos, así que se toma

$\dfrac{k-120}{30}=0{,}13$

$k=120+0{,}13\cdot30=120+3{,}9=123{,}9$



El valor pedido es $k=123{,}9$ microgramos por decilitro. Es coherente que quede algo por encima de la media, ya que el porcentaje que lo supera, el $45\ \%$, es algo menor que la mitad.