Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Calcule la ecuación implícita de la recta (como intersección de dos planos) que pasa por el punto $A = (0, 1, 1)$ y es paralela a los planos $\pi_{1}$, que contiene los puntos $B_{1}$, $B_{2}$ y $B_{3}$, y $\pi_{2} \equiv x + 2z = 1$, siendo:

$B_{1} = (-1, 0, 2), \qquad B_{2} = (1, 3, 1), \qquad B_{3} = (2, -1, 0)$

[2 puntos]

Una recta paralela a un plano tiene su vector director perpendicular al vector normal de ese plano. Como la recta ha de ser paralela a los dos planos a la vez, su director es perpendicular a las dos normales, y por tanto proporcional a su producto vectorial. El plan es, pues: hallar $\vec n_{1}$ y $\vec n_{2}$, multiplicarlos vectorialmente y escribir la recta que pasa por $A$ con esa dirección.

i) Vector normal de $\pi_{1}$. Se obtiene con el producto vectorial de dos vectores del plano:

$\overrightarrow{B_{1}B_{2}}=(1,3,1)-(-1,0,2)=(2,3,-1)\ ;\qquad \overrightarrow{B_{1}B_{3}}=(2,-1,0)-(-1,0,2)=(3,-1,-2)$

$\vec n_{1}=\overrightarrow{B_{1}B_{2}}\times\overrightarrow{B_{1}B_{3}}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\2&3&-1\\3&-1&-2\end{vmatrix}=(-6-1)\vec i-(-4+3)\vec j+(-2-9)\vec k=(-7,1,-11)$

ii) Vector normal de $\pi_{2}$. Se lee directamente en su ecuación general:

$\pi_{2}:\ x+2z=1\ \Rightarrow\ \vec n_{2}=(1,0,2)$











iii) Vector director de la recta:

$\vec v=\vec n_{1}\times\vec n_{2}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\-7&1&-11\\1&0&2\end{vmatrix}$

$\vec v=(2-0)\vec i-(-14+11)\vec j+(0-1)\vec k=(2,3,-1)$





Obsérvese que el director obtenido coincide con $\overrightarrow{B_{1}B_{2}}$, lo que confirma que la recta es paralela a $\pi_{1}$: su dirección es una de las del plano.

iv) Ecuación de la recta. Con el punto $A(0,1,1)$ y el director $\vec v=(2,3,-1)$, la forma continua es

$r:\ \dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{3}=\dfrac{z-1}{-1}$

La ecuación implícita se obtiene igualando por parejas y pasando todo a un miembro. De la primera igualdad:

$3x=2(y-1)\ \Rightarrow\ 3x-2y+2=0$

De la segunda:

$-(y-1)=3(z-1)\ \Rightarrow\ y+3z-4=0$

Comprobamos que el punto $A(0,1,1)$ verifica las dos ecuaciones: $0-2+2=0$ y $1+3-4=0$.

La recta pedida es $r:\begin{cases}3x-2y+2=0\\y+3z-4=0\end{cases}$.