Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · Aragón · 2021

Para la siguiente función

$f(x) = \dfrac{2x^{3} - x^{2}}{x^{2} - x - 2}$

a) Estudie el dominio de definición y calcule las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas caso de existir. [1,2 puntos]

b) Calcule la recta tangente a la curva en el punto $x = 1$. [0,8 puntos]

$\textbf{a) Estudie el dominio de definición y calcule las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas caso de existir. [1,2 puntos]}$

Es una función racional, así que su dominio son todos los reales salvo los que anulan el denominador.

$x^{2}-x-2=0\ \Rightarrow\ x=\dfrac{1\pm3}{2}\ \Rightarrow\ \begin{cases}x=2\\x=-1\end{cases}\ \Rightarrow\ \text{Dom}\,f=\mathbb{R}-\{-1,\,2\}$

En ninguno de los dos puntos se anula el numerador $x^{2}(2x-1)$, de modo que los dos son asíntotas verticales:

$\displaystyle\lim_{x\to-1^{-}}\dfrac{2x^{3}-x^{2}}{x^{2}-x-2}=\dfrac{-3}{0^{+}}=-\infty\ ;\qquad \lim_{x\to-1^{+}}=\dfrac{-3}{0^{-}}=+\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to2^{-}}\dfrac{2x^{3}-x^{2}}{x^{2}-x-2}=\dfrac{12}{0^{-}}=-\infty\ ;\qquad \lim_{x\to2^{+}}=\dfrac{12}{0^{+}}=+\infty$

El grado del numerador supera al del denominador, así que no hay asíntota horizontal:

$\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2x^{3}-x^{2}}{x^{2}-x-2}=\pm\infty$

Como la diferencia de grados es exactamente 1, sí hay asíntota oblicua $y=mx+n$, que se obtiene efectuando la división de los polinomios:

$\dfrac{2x^{3}-x^{2}}{x^{2}-x-2}=2x+1+\dfrac{5x+2}{x^{2}-x-2}$

El resto tiende a cero cuando $x$ se va a infinito, de modo que la función se pega a la recta del cociente:

$\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{5x+2}{x^{2}-x-2}=0\ \Rightarrow\ y=2x+1\ \text{es asíntota oblicua}$



La función está definida en $\mathbb{R}-\{-1,2\}$, tiene las asíntotas verticales $x=-1$ y $x=2$, la asíntota oblicua $y=2x+1$, y no tiene asíntota horizontal.

$\textbf{b) Calcule la recta tangente a la curva en el punto } \boldsymbol{x = 1}\textbf{. [0,8 puntos]}$

El punto $x=1$ pertenece al dominio, así que la tangente existe. Se calcula el punto de la curva y la derivada en él.

$f(1)=\dfrac{2-1}{1-1-2}=\dfrac{1}{-2}=-\dfrac{1}{2}$

Derivamos sobre la expresión obtenida al dividir, que es más cómoda que el cociente original:

$f(x)=2x+1+\dfrac{5x+2}{x^{2}-x-2}\ \Rightarrow\ f'(x)=2+\dfrac{5\left(x^{2}-x-2\right)-(5x+2)(2x-1)}{\left(x^{2}-x-2\right)^{2}}$

$f'(1)=2+\dfrac{5\cdot(-2)-7\cdot1}{(-2)^{2}}=2+\dfrac{-17}{4}=\dfrac{8-17}{4}=-\dfrac{9}{4}$

$y+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{9}{4}(x-1)\ \Rightarrow\ y=-\dfrac{9}{4}x+\dfrac{9}{4}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{9}{4}x+\dfrac{7}{4}$

La recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x=1$ es $y=-\frac{9}{4}x+\frac{7}{4}$.