Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

Calcule

$\displaystyle\int \frac{x^{2} - 1}{x^{3} - 3x + 2}\,dx$

[2 puntos]

Es la integral de una función racional en la que el grado del numerador es menor que el del denominador, así que se descompone en fracciones simples. Lo primero es factorizar el denominador buscando sus raíces enteras entre los divisores del término independiente.

$x=1:\quad 1-3+2=0\ \Rightarrow\ x=1\ \text{es raíz}$

Dividiendo por $(x-1)$ se obtiene $x^{2}+x-2$, cuyas raíces son $1$ y $-2$:

$x^{3}-3x+2=(x-1)\left(x^{2}+x-2\right)=(x-1)^{2}(x+2)$

El numerador también se factoriza, y aparece un factor común que se puede simplificar antes de descomponer:

$\dfrac{x^{2}-1}{x^{3}-3x+2}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^{2}(x+2)}=\dfrac{x+1}{(x-1)(x+2)}$

Descomponemos ahora en fracciones simples, que son dos porque quedan dos raíces simples:

$\dfrac{x+1}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}\ \Rightarrow\ x+1=A(x+2)+B(x-1)$

Damos a $x$ los valores de las raíces, que anulan uno de los sumandos cada vez:

$x=1:\quad 2=3A\ \Rightarrow\ A=\dfrac{2}{3}$

$x=-2:\quad -1=-3B\ \Rightarrow\ B=\dfrac{1}{3}$

$\displaystyle\int\dfrac{x^{2}-1}{x^{3}-3x+2}\,dx=\dfrac{2}{3}\int\dfrac{dx}{x-1}+\dfrac{1}{3}\int\dfrac{dx}{x+2}$

Las dos integrales que quedan son logaritmos inmediatos:

$=\dfrac{2}{3}\ln|x-1|+\dfrac{1}{3}\ln|x+2|+C$

La integral pedida vale $\frac{2}{3}\ln|x-1|+\frac{1}{3}\ln|x+2|+C$.