Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule el valor de $a \in \mathbb{R}$ (con $a \neq 0$) para que se verifique el siguiente límite

$\displaystyle\lim_{x \to 0} \left(1 - \operatorname{sen}^{2}(x)\right)^{\frac{a}{x^{2}}} = 2$

[2 puntos]

La base tiende a 1 y el exponente a infinito, así que aparece la indeterminación $1^{\infty}$. Se resuelve con la fórmula asociada al número $e$: el límite es $e$ elevado al límite del producto del exponente por la base menos uno.

$\displaystyle\lim_{x\to0}\left(1-\operatorname{sen}^{2}(x)\right)^{\frac{a}{x^{2}}}=e^{\,\Lambda},\qquad \Lambda=\lim_{x\to0}\dfrac{a}{x^{2}}\left[\left(1-\operatorname{sen}^{2}(x)\right)-1\right]$

$\Lambda=\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{a}{x^{2}}\left(-\operatorname{sen}^{2}(x)\right)=-a\lim_{x\to0}\left(\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}\right)^{2}$

El límite que queda es el cuadrado de un límite tipo, que vale 1:

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}=1\ \Rightarrow\ \Lambda=-a\cdot1^{2}=-a$

$\displaystyle\lim_{x\to0}\left(1-\operatorname{sen}^{2}(x)\right)^{\frac{a}{x^{2}}}=e^{-a}$

Imponemos ahora la condición del enunciado y despejamos tomando logaritmos neperianos:

$e^{-a}=2\ \Rightarrow\ -a=\ln2\ \Rightarrow\ a=-\ln2\approx-0{,}6931$

El valor obtenido es distinto de cero, como exige el enunciado. El valor pedido es $a=-\ln2$.