Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Dada la siguiente función

$f(x) = \begin{cases} x^{3} + bx + 2 & x \leq 0 \\[2ex] \dfrac{\ln(x + 1)}{ax} & x > 0 \end{cases} \qquad a,\, b \in \mathbb{R}, \; a,\, b \neq 0$

a) Determine los valores de $a,\, b \in \mathbb{R}$ para que la función $f(x)$ sea continua en $\mathbb{R}$. [1 punto]

b) Calcule aquellos valores que además hacen que la función $f(x)$ tenga un extremo relativo en el punto $x = -1$, y determine el tipo de extremo que es. [1 punto]

$\textbf{a) Determine los valores de } \boldsymbol{a,\, b \in \mathbb{R}}\textbf{ para que la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ sea continua en } \boldsymbol{\mathbb{R}}\textbf{. [1 punto]}$

En el tramo $x<0$ la función es un polinomio, continuo siempre. En el tramo $x>0$ es un cociente cuyo numerador está definido porque $x+1>0$ y cuyo denominador no se anula, ya que $a\neq0$ y $x>0$. El único punto que puede dar problemas es el de empalme.

$f(0)=0^{3}+b\cdot0+2=2$

$\displaystyle\lim_{x\to0^{-}}\left(x^{3}+bx+2\right)=2$

Por la derecha aparece una indeterminación $\frac{0}{0}$, que se resuelve con la regla de L'Hôpital:

$\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}\dfrac{\ln(x+1)}{ax}=\lim_{x\to0^{+}}\dfrac{\frac{1}{x+1}}{a}=\dfrac{1}{a}$

El parámetro $b$ no interviene en ninguno de los dos límites, así que la continuidad solo depende de $a$:

$\dfrac{1}{a}=2\ \Rightarrow\ a=\dfrac{1}{2}$

La función es continua en $\mathbb{R}$ para $a=\frac{1}{2}$ y cualquier valor de $b$ distinto de cero.

$\textbf{b) Calcule aquellos valores que además hacen que la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ tenga un extremo relativo en el punto } \boldsymbol{x = -1}\textbf{, y determine el tipo de extremo que es. [1 punto]}$

El punto $x=-1$ es negativo, de modo que la función viene dada por la primera rama y la condición solo afecta a $b$; el valor de $a$ sigue siendo el del apartado anterior. La condición necesaria de extremo relativo es que se anule la primera derivada.

$f(x)=x^{3}+bx+2\ \Rightarrow\ f'(x)=3x^{2}+b$

$f'(-1)=3+b=0\ \Rightarrow\ b=-3$

El valor obtenido es distinto de cero, como exige el enunciado. Para clasificar el extremo se recurre a la segunda derivada:

$f''(x)=6x\ \Rightarrow\ f''(-1)=-6<0$

Al ser negativa, se trata de un máximo relativo. Su ordenada es

$f(-1)=(-1)^{3}+(-3)(-1)+2=-1+3+2=4$

Los valores pedidos son $a=\frac{1}{2}$ y $b=-3$, y con ellos la función tiene un máximo relativo en el punto $(-1,4)$.