Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

De los huevos que se producen diariamente en una granja, deben desecharse el 20 % por no ser aptos para su consumo. Se seleccionan de manera aleatoria e independiente 5 huevos:

a) Calcule la probabilidad de que tengamos que desechar alguno de los huevos seleccionados (al menos 1). [1 punto]

b.1) ¿Qué es más probable, que haya exactamente 2 huevos no aptos, o que haya exactamente 3 huevos no aptos? Obtenga estas probabilidades. [0,5 puntos]

b.2) ¿Cómo razonaría esa respuesta sin hacer uso de la calculadora? [0,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que tengamos que desechar alguno de los huevos seleccionados (al menos 1). [1 punto]}$

Se eligen 5 huevos de manera independiente y de cada uno interesa solo si hay que desecharlo o no, con la misma probabilidad en todos los casos: es una distribución binomial.

$X\equiv$ número de huevos no aptos entre los 5 seleccionados

$X\sim B(5;\,0{,}2)\ \Rightarrow\ P(X=k)=\binom{5}{k}\,0{,}2^{k}\,0{,}8^{5-k}$

Desechar alguno significa uno o más. Sumar los cinco casos sería largo; el suceso contrario, que no haya que desechar ninguno, tiene un solo caso.

$P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-\binom{5}{0}\,0{,}2^{0}\,0{,}8^{5}=1-0{,}8^{5}$

$P(X\geq1)=1-0{,}32768=0{,}67232$

La probabilidad de tener que desechar alguno de los 5 huevos es $0{,}6723$, es decir, un $67{,}23\ \%$.

$\textbf{b.1) ¿Qué es más probable, que haya exactamente 2 huevos no aptos, o que haya exactamente 3 huevos no aptos? Obtenga estas probabilidades. [0,5 puntos]}$

Se aplica la fórmula de la distribución binomial a cada uno de los dos casos.

$P(X=2)=\binom{5}{2}\,0{,}2^{2}\,0{,}8^{3}=10\cdot0{,}04\cdot0{,}512=0{,}2048$

$P(X=3)=\binom{5}{3}\,0{,}2^{3}\,0{,}8^{2}=10\cdot0{,}008\cdot0{,}64=0{,}0512$

$P(X=2)=0{,}2048>0{,}0512=P(X=3)$

Es más probable que haya exactamente 2 huevos no aptos que exactamente 3.

$\textbf{b.2) ¿Cómo razonaría esa respuesta sin hacer uso de la calculadora? [0,5 puntos]}$

Basta comparar las dos expresiones sin llegar a evaluarlas. Los números combinatorios son iguales, porque en el triángulo de Tartaglia cada fila es simétrica:

$\binom{5}{2}=\binom{5}{3}=10$

Al dividir las dos probabilidades ese factor común desaparece y también se simplifican las potencias:

$\dfrac{P(X=2)}{P(X=3)}=\dfrac{0{,}2^{2}\,0{,}8^{3}}{0{,}2^{3}\,0{,}8^{2}}=\dfrac{0{,}8}{0{,}2}=4$

$P(X=2)=4\,P(X=3)>P(X=3)$

Es, por tanto, cuatro veces más probable que haya exactamente 2 huevos no aptos que exactamente 3. El razonamiento es coherente con que la media de la distribución, $\mu=np=5\cdot0{,}2=1$, está más cerca de 2 que de 3.