Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado el siguiente sistema:

$\begin{cases} x + a\,y + z = 0 \\ x + y + a^{2}z = 0 \\ x + y + 2a\,z = 0 \end{cases}$

a) Discuta según los valores de $a \in \mathbb{R}$ qué tipo de sistema es atendiendo a sus posibles soluciones (compatible determinado o indeterminado, incompatible). [1 punto]

b) Resuelva el sistema para $a = 0$. [1 punto]

$\textbf{a) Discuta según los valores de } \boldsymbol{a \in \mathbb{R}}\textbf{ qué tipo de sistema es atendiendo a sus posibles soluciones (compatible determinado o indeterminado, incompatible). [1 punto]}$

El sistema es homogéneo: todos los términos independientes son nulos. Eso obliga a que la matriz ampliada tenga siempre el mismo rango que la de coeficientes, de modo que el sistema nunca puede ser incompatible; la solución trivial $(0,0,0)$ siempre lo verifica. La discusión se reduce a comparar el rango de la matriz de coeficientes con el número de incógnitas.

$A=\begin{pmatrix}1&a&1\\1&1&a^{2}\\1&1&2a\end{pmatrix}$

Antes de desarrollar el determinante conviene restar la segunda fila a la tercera, operación que no lo altera y deja dos ceros:

$|A|=\begin{vmatrix}1&a&1\\1&1&a^{2}\\0&0&2a-a^{2}\end{vmatrix}=\left(2a-a^{2}\right)\begin{vmatrix}1&a\\1&1\end{vmatrix}=a(2-a)(1-a)$

$a(2-a)(1-a)=0\ \Rightarrow\ \begin{cases}a=0\\a=1\\a=2\end{cases}$

$\text{Si }a\neq0,\,1,\,2:\quad \operatorname{ran}(A)=3=\text{n.º de incógnitas}$

El sistema es compatible determinado y su única solución es la trivial, $x=y=z=0$.

Para los tres valores que anulan el determinante se busca un menor de orden 2 no nulo:

$a=0:\ A=\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\\1&1&0\end{pmatrix},\qquad \begin{vmatrix}1&0\\1&1\end{vmatrix}=1\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}(A)=2$

$a=1:\ A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&2\end{pmatrix},\qquad \begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}=1\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}(A)=2$

$a=2:\ A=\begin{pmatrix}1&2&1\\1&1&4\\1&1&4\end{pmatrix},\qquad \begin{vmatrix}1&2\\1&1\end{vmatrix}=-1\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}(A)=2$

En los tres casos el rango es 2, menor que el número de incógnitas, y el sistema es compatible indeterminado con un grado de libertad: además de la trivial tiene infinitas soluciones.

$\textbf{b) Resuelva el sistema para } \boldsymbol{a = 0}\textbf{. [1 punto]}$

Para $a=0$ las ecuaciones segunda y tercera coinciden, así que el sistema equivale a

$\begin{cases}x+z=0\\x+y=0\end{cases}$

Se toma como parámetro la incógnita que no es principal y se despejan las otras dos:

$x=\lambda\ \Rightarrow\ z=-\lambda\ ;\qquad y=-\lambda$

$(x,y,z)=(\lambda,\,-\lambda,\,-\lambda),\qquad \lambda\in\mathbb{R}$

Comprobamos en las tres ecuaciones de partida: $\lambda+0-\lambda=0$, $\lambda-\lambda+0=0$ y $\lambda-\lambda+0=0$.

El sistema es compatible indeterminado y sus infinitas soluciones son los puntos de la recta $(\lambda,-\lambda,-\lambda)$, con $\lambda$ recorriendo los números reales. Para $\lambda=0$ se recupera la solución trivial.