Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · Aragón · 2022

Para la siguiente función:

$f(x) = \dfrac{x^{2} + x}{3 - x^{2}}$

a) Estudie la existencia de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas, así como de ramas parabólicas. Determine las asíntotas cuando existan. [1,25 puntos]

b) Calcule la recta tangente a la función en el punto $x = 1$. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Estudie la existencia de asíntotas horizontales, verticales y oblicuas, así como de ramas parabólicas. Determine las asíntotas cuando existan. [1,25 puntos]}$

Es una función racional. Sus posibles asíntotas verticales están en los puntos que anulan el denominador sin anular el numerador, así que se empieza por ahí.

$3-x^{2}=0\ \Rightarrow\ x=\pm\sqrt3\ \Rightarrow\ \text{Dom}\,f=\mathbb{R}-\left\{-\sqrt3,\ \sqrt3\right\}$

En ninguno de los dos puntos se anula el numerador, ya que $x^{2}+x=x(x+1)$ solo se anula en $0$ y en $-1$. Los dos son, pues, asíntotas verticales:

$\displaystyle\lim_{x\to\sqrt3^{-}}\dfrac{x^{2}+x}{3-x^{2}}=\dfrac{3+\sqrt3}{0^{+}}=+\infty\ \Rightarrow\ x=\sqrt3\ \text{es asíntota vertical}$

$\displaystyle\lim_{x\to-\sqrt3^{-}}\dfrac{x^{2}+x}{3-x^{2}}=\dfrac{3-\sqrt3}{0^{-}}=-\infty\ \Rightarrow\ x=-\sqrt3\ \text{es asíntota vertical}$

Para la asíntota horizontal se comparan los grados del numerador y del denominador, que aquí coinciden: el límite es el cociente de los coeficientes principales.

$\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^{2}+x}{3-x^{2}}=\dfrac{1}{-1}=-1\ \Rightarrow\ y=-1\ \text{es asíntota horizontal}$

Al existir asíntota horizontal en los dos infinitos, no puede haber asíntota oblicua ni ramas parabólicas: la función no tiende a infinito cuando $x$ se aleja, sino que se estabiliza en $-1$.



La función tiene dos asíntotas verticales, $x=\sqrt3$ y $x=-\sqrt3$, y una horizontal, $y=-1$; no tiene asíntotas oblicuas ni ramas parabólicas.

$\textbf{b) Calcule la recta tangente a la función en el punto } \boldsymbol{x = 1}\textbf{. [0,75 puntos]}$

La recta tangente pasa por el punto de la curva y tiene por pendiente la derivada en él. El punto $x=1$ pertenece al dominio, así que la tangente existe.

$f(1)=\dfrac{1+1}{3-1}=\dfrac{2}{2}=1$

Derivamos por la regla del cociente:

$f'(x)=\dfrac{(2x+1)\left(3-x^{2}\right)-\left(x^{2}+x\right)(-2x)}{\left(3-x^{2}\right)^{2}}=\dfrac{6x-2x^{3}+3-x^{2}+2x^{3}+2x^{2}}{\left(3-x^{2}\right)^{2}}=\dfrac{x^{2}+6x+3}{\left(3-x^{2}\right)^{2}}$

$f'(1)=\dfrac{1+6+3}{(3-1)^{2}}=\dfrac{10}{4}=\dfrac{5}{2}$

$y-1=\dfrac{5}{2}(x-1)\ \Rightarrow\ y=\dfrac{5}{2}x-\dfrac{3}{2}$

La recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x=1$ es $y=\frac{5}{2}x-\frac{3}{2}$.