Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

Calcule el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones:

$f(x) = 3x + 2x^{2}, \qquad g(x) = x^{2} + 4x + 2$

[2 puntos]

Para calcular el área encerrada entre dos curvas se buscan primero sus puntos de corte, que delimitan el recinto, y después se integra la diferencia entre la que va por arriba y la que va por abajo.

$3x+2x^{2}=x^{2}+4x+2\ \Rightarrow\ x^{2}-x-2=0$

$x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\dfrac{1\pm3}{2}\ \Rightarrow\ \begin{cases}x=2\\x=-1\end{cases}$

Los puntos de corte son $(-1,-1)$ y $(2,14)$. Para saber cuál de las dos parábolas queda por encima entre ellos basta evaluarlas en un punto intermedio, por ejemplo $x=0$:

$f(0)=0<2=g(0)$











La parábola $g$ va por encima en todo el recinto, así que el área es la integral de $g-f$ entre las dos abscisas de corte.

$\mathcal{A}=\displaystyle\int_{-1}^{2}\left[g(x)-f(x)\right]dx$





Operamos primero el integrando y después aplicamos la regla de Barrow.

$g(x)-f(x)=x^{2}+4x+2-3x-2x^{2}=-x^{2}+x+2$

$\mathcal{A}=\displaystyle\int_{-1}^{2}\left(-x^{2}+x+2\right)dx=\left[-\dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{x^{2}}{2}+2x\right]_{-1}^{2}$

$=\left(-\dfrac{8}{3}+2+4\right)-\left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}-2\right)=\dfrac{10}{3}+\dfrac{7}{6}=\dfrac{27}{6}=\dfrac{9}{2}$

El área del recinto limitado por las dos parábolas es de $\frac{9}{2}=4{,}5$ unidades de área.