Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Para la siguiente función:

$f(x) = \dfrac{2x^{3} + ax^{2} + bx + 3}{-x^{3} + 4x^{2} - 5x + 2}, \qquad a,\, b \in \mathbb{R}$

Calcule los valores de $a,\, b \in \mathbb{R}$ para que $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = L \in \mathbb{R}$, y determine el valor de dicho límite. [2 puntos]

Al sustituir $x=1$ el denominador se anula, así que para que el límite sea finito el numerador tiene que anularse también, y hacerlo con la misma multiplicidad. Lo primero es, por tanto, factorizar el denominador.

$-1+4-5+2=0\ \Rightarrow\ x=1\ \text{es raíz del denominador}$

Dividiendo por $(x-1)$ y factorizando el cociente:

$-x^{3}+4x^{2}-5x+2=-\left(x^{3}-4x^{2}+5x-2\right)=-(x-1)^{2}(x-2)$

La raíz $x=1$ es doble. Para que el límite sea finito, el numerador debe ser divisible por $(x-1)^{2}$, lo que equivale a que se anulen en $x=1$ tanto el numerador como su derivada.

$N(x)=2x^{3}+ax^{2}+bx+3\ ;\qquad N'(x)=6x^{2}+2ax+b$

$N(1)=2+a+b+3=0\ \Rightarrow\ a+b=-5$

$N'(1)=6+2a+b=0\ \Rightarrow\ 2a+b=-6$

Restando la primera ecuación de la segunda:

$a=-1\ \Rightarrow\ b=-5-a=-4$

Con esos valores el numerador es $N(x)=2x^{3}-x^{2}-4x+3$, y al dividirlo por $(x-1)^{2}$ queda:

$2x^{3}-x^{2}-4x+3=(x-1)^{2}(2x+3)$

Ya se puede simplificar el cociente y calcular el límite:

$L=\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{(x-1)^{2}(2x+3)}{-(x-1)^{2}(x-2)}=\lim_{x\to1}\dfrac{2x+3}{-(x-2)}=\dfrac{5}{-(-1)}=5$

Los valores pedidos son $a=-1$ y $b=-4$, y con ellos el límite vale $L=5$.