Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

Dada la siguiente función:

$f(x) = x\,e^{-ax^{2}}, \qquad a \in \mathbb{R}$

a) Determine los valores de $a \in \mathbb{R}$ para que la función $f(x)$ sea continua en $\mathbb{R}$ y tenga la asíntota horizontal $y = 0$. [1 punto]

b) Calcule, para el valor $a = \dfrac{1}{2}$, el área que encierra la gráfica de la curva $f(x)$ entre el eje $X$ y las rectas $x = 0$ y $x = 1$. [1 punto]

$\textbf{a) Determine los valores de } \boldsymbol{a \in \mathbb{R}}\textbf{ para que la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ sea continua en } \boldsymbol{\mathbb{R}}\textbf{ y tenga la asíntota horizontal } \boldsymbol{y = 0}\textbf{. [1 punto]}$

Son dos condiciones que hay que estudiar por separado. La primera no restringe nada, y es la segunda la que fija el parámetro.

La función es el producto de un polinomio por una exponencial, y ambas son continuas en todo $\mathbb{R}$ sea cual sea $a$. Por tanto $f$ es continua en $\mathbb{R}$ para cualquier valor del parámetro.

Que $y=0$ sea asíntota horizontal significa que la función tiende a cero cuando $x$ se va a infinito. Se distinguen tres casos según el signo de $a$.

$\text{Si }a=0:\quad f(x)=x\ \Rightarrow\ \displaystyle\lim_{x\to+\infty}x=+\infty$

No hay asíntota horizontal.

$\text{Si }a<0:\quad -a>0\ \Rightarrow\ e^{-ax^{2}}\to+\infty\ \Rightarrow\ \displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\,e^{-ax^{2}}=+\infty$

Tampoco la hay: los dos factores crecen a la vez.

$\text{Si }a>0:\quad \displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\,e^{-ax^{2}}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{e^{ax^{2}}}=\dfrac{\infty}{\infty}$

Aplicando la regla de L'Hôpital:

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{e^{ax^{2}}}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{2ax\,e^{ax^{2}}}=\dfrac{1}{\infty}=0$

El mismo cálculo, con los signos cambiados, da $0$ cuando $x\to-\infty$: la exponencial es un infinito de orden superior a cualquier potencia.

La función es continua en $\mathbb{R}$ para todo $a$, y tiene la asíntota horizontal $y=0$ exactamente cuando $a>0$.

$\textbf{b) Calcule, para el valor } \boldsymbol{a = \dfrac{1}{2}}\textbf{, el área que encierra la gráfica de la curva } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ entre el eje } \boldsymbol{X}\textbf{ y las rectas } \boldsymbol{x = 0}\textbf{ y } \boldsymbol{x = 1}\textbf{. [1 punto]}$

Con ese valor del parámetro la función es $f(x)=x\,e^{-x^{2}/2}$. Antes de integrar hay que comprobar el signo de la función en el intervalo, porque si cambiara habría que partir la integral.

$x\in[0,1]\ \Rightarrow\ x\geq0\ \text{y}\ e^{-x^{2}/2}>0\ \Rightarrow\ f(x)\geq0$











La función es positiva en todo el intervalo, así que el área es directamente la integral definida.

$\mathcal{A}=\displaystyle\int_{0}^{1}x\,e^{-x^{2}/2}\,dx$





Se resuelve por cambio de variable, porque en el integrando aparece la derivada del exponente salvo una constante.

$\begin{cases}t=-\dfrac{x^{2}}{2}\\[1ex] dt=-x\,dx\ \Rightarrow\ x\,dx=-dt\end{cases}$

$\displaystyle\int x\,e^{-x^{2}/2}dx=-\int e^{t}dt=-e^{t}=-e^{-x^{2}/2}$

Aplicando la regla de Barrow:

$\mathcal{A}=\left[-e^{-x^{2}/2}\right]_{0}^{1}=-e^{-1/2}+e^{0}=1-\dfrac{1}{\sqrt{e}}\approx0{,}3935$

El área pedida es de $1-e^{-1/2}\approx0{,}3935$ unidades de área.