Ejercicio resuelto de Geometría · Matemáticas II · Aragón · 2022

a) Dados los siguientes vectores: $\vec{v}_{1} = a\,\vec{u}_{1} - 2\,\vec{u}_{2} + 3\,\vec{u}_{3}$, $\vec{v}_{2} = -\vec{u}_{1} + a\,\vec{u}_{2} + \vec{u}_{3}$, determine el valor del parámetro $a \in \mathbb{R}$ para que los vectores $\vec{v}_{1}$ y $\vec{v}_{2}$ sean ortogonales, sabiendo que los vectores $\{\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}, \vec{u}_{3}\}$ son ortogonales y de módulo igual a 1. [1 punto]

b) Calcule el volumen del tetraedro formado por los vectores $\vec{v}_{1}$, $\vec{v}_{2}$ y $\vec{v}_{3} = \vec{v}_{1} + \vec{v}_{2}$, siendo $\vec{v}_{1} = (1, 0, -2)$ y $\vec{v}_{2} = (3, 1, 0)$. [1 punto]

$\textbf{a) Determine el valor del parámetro } \boldsymbol{a \in \mathbb{R}}\textbf{ para que los vectores } \boldsymbol{\vec{v}_{1}}\textbf{ y } \boldsymbol{\vec{v}_{2}}\textbf{ sean ortogonales, sabiendo que los vectores } \boldsymbol{\{\vec{u}_{1}, \vec{u}_{2}, \vec{u}_{3}\}}\textbf{ son ortogonales y de módulo igual a 1. [1 punto]}$

Dos vectores son ortogonales cuando su producto escalar es cero. Que $\{\vec u_{1},\vec u_{2},\vec u_{3}\}$ sea una base ortonormal simplifica mucho el cálculo, porque los productos escalares entre ellos valen

$\vec u_{i}\cdot\vec u_{i}=1\ ;\qquad \vec u_{i}\cdot\vec u_{j}=0\ \ (i\neq j)$

Desarrollando el producto escalar por la propiedad distributiva, solo sobreviven los términos con el mismo vector repetido, de modo que basta multiplicar coordenada a coordenada:

$\vec v_{1}\cdot\vec v_{2}=\left(a\vec u_{1}-2\vec u_{2}+3\vec u_{3}\right)\cdot\left(-\vec u_{1}+a\vec u_{2}+\vec u_{3}\right)=a(-1)+(-2)a+3\cdot1$

$\vec v_{1}\cdot\vec v_{2}=-a-2a+3=3-3a$

$3-3a=0\ \Rightarrow\ a=1$

Los vectores $\vec v_{1}$ y $\vec v_{2}$ son ortogonales para $a=1$.

$\textbf{b) Calcule el volumen del tetraedro formado por los vectores } \boldsymbol{\vec{v}_{1}}\textbf{, } \boldsymbol{\vec{v}_{2}}\textbf{ y } \boldsymbol{\vec{v}_{3} = \vec{v}_{1} + \vec{v}_{2}}\textbf{. [1 punto]}$

El volumen del tetraedro que determinan tres vectores es la sexta parte del valor absoluto de su producto mixto. Conviene mirar antes cómo está definido el tercer vector, porque eso decide el resultado sin necesidad de calcular nada.

$\vec v_{3}=\vec v_{1}+\vec v_{2}=(1,0,-2)+(3,1,0)=(4,1,-2)$











El tercer vector es combinación lineal de los otros dos, así que los tres son linealmente dependientes y, colocados con el mismo origen, quedan en un mismo plano. El paralelepípedo que determinan es plano y su volumen es nulo.





Lo confirma el producto mixto:

$\left[\vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3}\right]=\begin{vmatrix}1&0&-2\\3&1&0\\4&1&-2\end{vmatrix}=-2+0-6+8+0-0=0$

$V=\dfrac{1}{6}\left|\left[\vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3}\right]\right|=\dfrac{1}{6}\cdot0=0$

El volumen del tetraedro es 0 unidades cúbicas: los tres vectores son coplanarios y el tetraedro degenera en una figura plana, de modo que no llega a ser un cuerpo.