Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

a) Escriba la ecuación del plano que contiene a las rectas $r_{1}$ y $r_{2}$, y además pasa por el punto $(-1, 2, 1)$, siendo

$r_{1} \equiv \dfrac{x}{3} = \dfrac{y + 2}{1} = \dfrac{z}{1} \qquad \text{y} \qquad r_{2} \equiv \begin{cases} x = -1 + 6t \\ y = -2t \\ z = t \end{cases}$

[1 punto]

b) Dado el vector $\vec{v} = (2, k, 2k)$, calcule el valor $k \in \mathbb{R}$ para que $\vec{v}$ y los vectores directores de las rectas $r_{1}$ y $r_{2}$ sean linealmente dependientes. [1 punto]

$\textbf{a) Escriba la ecuación del plano que contiene a las rectas } \boldsymbol{r_{1}}\textbf{ y } \boldsymbol{r_{2}}\textbf{, y además pasa por el punto } \boldsymbol{(-1, 2, 1)}\textbf{. [1 punto]}$

Antes de buscar el plano hay que comprobar que existe, es decir, que las dos rectas son coplanarias. De las ecuaciones dadas se leen un punto y un vector director de cada una:

$r_{1}:\ \dfrac{x}{3}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z}{1}\ \Rightarrow\ P_{1}(0,-2,0),\ \vec v_{1}=(3,1,1)$

$r_{2}:\ \begin{cases}x=-1+6t\\y=-2t\\z=t\end{cases}\ \Rightarrow\ P_{2}(-1,0,0),\ \vec v_{2}=(6,-2,1)$

Los dos directores no son proporcionales, así que las rectas no son paralelas. Dos rectas no paralelas están en un mismo plano si y solo si se cortan, y eso equivale a que el producto mixto de los dos directores con el vector que une sus puntos se anule.

$\overrightarrow{P_{1}P_{2}}=(-1,0,0)-(0,-2,0)=(-1,2,0)$

$\left[\vec v_{1},\vec v_{2},\overrightarrow{P_{1}P_{2}}\right]=\begin{vmatrix}3&1&1\\6&-2&1\\-1&2&0\end{vmatrix}=0-1+12-2-6-0=3$











$\left[\vec v_{1},\vec v_{2},\overrightarrow{P_{1}P_{2}}\right]=3\neq0$

El producto mixto no es nulo, luego los tres vectores no son coplanarios: las rectas $r_{1}$ y $r_{2}$ se cruzan.





Dos rectas que se cruzan no están contenidas en un mismo plano, de modo que no existe ningún plano que contenga a las dos, ni pasando por el punto dado ni por ningún otro. Esa es la respuesta al apartado.

Sí existe, en cambio, el plano que pasa por el punto dado y es paralelo a las dos rectas, que es lo más parecido que se puede construir con los datos. Su vector normal es perpendicular a los dos directores, es decir, su producto vectorial:

$\vec n=\vec v_{1}\times\vec v_{2}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\3&1&1\\6&-2&1\end{vmatrix}=(1+2)\vec i-(3-6)\vec j+(-6-6)\vec k=(3,3,-12)$

Dividiendo por 3, que no cambia la dirección, $\vec n\parallel(1,1,-4)$, y la ecuación del plano es

$\pi:\ x+y-4z+D=0$

Imponemos que pase por $(-1,2,1)$:

$-1+2-4+D=0\ \Rightarrow\ D=3\ \Rightarrow\ \pi:\ x+y-4z+3=0$

Se comprueba, en efecto, que no contiene a ninguna de las dos rectas: sustituyendo $P_{1}(0,-2,0)$ se obtiene $1\neq0$ y sustituyendo $P_{2}(-1,0,0)$ se obtiene $2\neq0$.

$\textbf{b) Dado el vector } \boldsymbol{\vec{v} = (2, k, 2k)}\textbf{, calcule el valor } \boldsymbol{k \in \mathbb{R}}\textbf{ para que } \boldsymbol{\vec{v}}\textbf{ y los vectores directores de las rectas } \boldsymbol{r_{1}}\textbf{ y } \boldsymbol{r_{2}}\textbf{ sean linealmente dependientes. [1 punto]}$

Tres vectores del espacio son linealmente dependientes cuando el determinante que forman se anula. Se plantea, pues, esa ecuación en $k$.

$\begin{vmatrix}2&k&2k\\3&1&1\\6&-2&1\end{vmatrix}=0$

Desarrollando por la primera fila:

$2\begin{vmatrix}1&1\\-2&1\end{vmatrix}-k\begin{vmatrix}3&1\\6&1\end{vmatrix}+2k\begin{vmatrix}3&1\\6&-2\end{vmatrix}=2(1+2)-k(3-6)+2k(-6-6)$

$=6+3k-24k=6-21k$

$6-21k=0\ \Rightarrow\ k=\dfrac{6}{21}=\dfrac{2}{7}$

Para $k=\frac{2}{7}$ los tres vectores son linealmente dependientes. Obsérvese que, al ser $\vec v_{1}$ y $\vec v_{2}$ independientes entre sí, eso significa que $\vec v$ pertenece al plano vectorial que ellos generan.