Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado el siguiente sistema:

$\left\{\begin{array}{rcrcrcl} -x & + & 3y & + & z & = & 5 \\ 2x & & & + & az & = & -4 \\ 4x & & & - & 3z & = & a + 1 \end{array}\right.$

a) Discuta según los valores de $a \in \mathbb{R}$ qué tipo de sistema es atendiendo a sus posibles soluciones (compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible). [1 punto]

b) Resuelva el sistema para $a = 1$. [1 punto]

$\textbf{a) Discuta según los valores de } \boldsymbol{a \in \mathbb{R}}\textbf{ qué tipo de sistema es atendiendo a sus posibles soluciones (compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible). [1 punto]}$

Se aplica el teorema de Rouché-Frobenius comparando el rango de la matriz de coeficientes con el de la ampliada y con el número de incógnitas, que es 3.

$A=\begin{pmatrix}-1&3&1\\2&0&a\\4&0&-3\end{pmatrix}\ ;\qquad A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}-1&3&1&5\\2&0&a&-4\\4&0&-3&a+1\end{array}\right)$

La segunda columna tiene dos ceros, así que conviene desarrollar el determinante por ella:

$|A|=-3\begin{vmatrix}2&a\\4&-3\end{vmatrix}=-3(-6-4a)=18+12a$

$18+12a=0\ \Rightarrow\ a=-\dfrac{3}{2}$

$\text{Si }a\neq-\dfrac{3}{2}:\quad |A|\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=3=\text{n.º de incógnitas}$

En ese caso el sistema es compatible determinado.

Para $a=-\frac{3}{2}$ el determinante se anula, pero queda un menor de orden 2 no nulo:

$\begin{vmatrix}-1&3\\2&0\end{vmatrix}=-6\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}(A)=2$

Estudiamos ahora la ampliada. Con $a=-\frac{3}{2}$ el sistema queda

$A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}-1&3&1&5\\2&0&-\frac{3}{2}&-4\\4&0&-3&-\frac{1}{2}\end{array}\right)$

La tercera fila de la matriz de coeficientes es el doble de la segunda, pero los términos independientes no guardan esa proporción, ya que $2\cdot(-4)=-8\neq-\frac{1}{2}$. Restando a la tercera fila el doble de la segunda:

$F_{3}-2F_{2}=\left(0,\,0,\,0\ \middle|\ \dfrac{15}{2}\right)$

Aparece la ecuación $0=\frac{15}{2}$, que es imposible, de modo que $\operatorname{ran}(A^{*})=3\neq2=\operatorname{ran}(A)$ y el sistema es incompatible.

En resumen: el sistema es compatible determinado si $a\neq-\frac{3}{2}$ e incompatible si $a=-\frac{3}{2}$. No es compatible indeterminado para ningún valor del parámetro.

$\textbf{b) Resuelva el sistema para } \boldsymbol{a = 1}\textbf{. [1 punto]}$

Para $a=1$ se tiene $|A|=18+12=30\neq0$, luego el sistema es compatible determinado y tiene solución única.

$\begin{cases}-x+3y+z=5\\2x+z=-4\\4x-3z=2\end{cases}$

Despejamos $z$ de la segunda ecuación y lo llevamos a la tercera, que solo contiene $x$ y $z$:

$z=-4-2x$

$4x-3(-4-2x)=2\ \Rightarrow\ 4x+12+6x=2\ \Rightarrow\ 10x=-10\ \Rightarrow\ x=-1$

$z=-4-2(-1)=-2$

Sustituyendo en la primera ecuación:

$-(-1)+3y+(-2)=5\ \Rightarrow\ 3y=6\ \Rightarrow\ y=2$

Comprobamos la solución en las tres ecuaciones: $1+6-2=5$, $-2-2=-4$ y $-4+6=2$.

La solución única del sistema para $a=1$ es $(x,y,z)=(-1,2,-2)$.