Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Aragón · 2022

Para la siguiente función:

$f(x) = \dfrac{(x - 1)^{2}}{x^{2}}$

a) Obtenga el dominio de definición y estudie su crecimiento y decrecimiento. [1 punto]

b) Analice la curvatura (concavidad $= \cap$ y convexidad $= \cup$) y la existencia de puntos de inflexión en su dominio de definición. Obtenga los puntos de inflexión caso de existir. [1 punto]

$\textbf{a) Obtenga el dominio de definición y estudie su crecimiento y decrecimiento. [1 punto]}$

Es una función racional, de modo que su dominio son todos los reales salvo los que anulan el denominador.

$x^{2}=0\ \Rightarrow\ x=0\ \Rightarrow\ \text{Dom}\,f=\mathbb{R}-\{0\}$

El crecimiento y el decrecimiento los da el signo de la primera derivada, que se calcula con la regla del cociente.

$f'(x)=\dfrac{2(x-1)x^{2}-(x-1)^{2}\cdot2x}{x^{4}}=\dfrac{2x(x-1)-2(x-1)^{2}}{x^{3}}=\dfrac{2(x-1)\left[x-(x-1)\right]}{x^{3}}=\dfrac{2(x-1)}{x^{3}}$

$f'(x)=0\ \Rightarrow\ 2(x-1)=0\ \Rightarrow\ x=1$

Los puntos que separan los intervalos de signo constante son ese y el que anula el denominador, $x=0$, que además queda fuera del dominio. Evaluamos la derivada en un punto de cada intervalo:

$f'(-1)=\dfrac{-4}{-1}=4>0\ ;\qquad f'\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{-1}{\frac{1}{8}}=-8<0\ ;\qquad f'(2)=\dfrac{2}{8}>0$



La función es creciente en $(-\infty,0)$ y en $(1,+\infty)$, y decreciente en $(0,1)$. Como pasa de decrecer a crecer, en $x=1$ hay un mínimo relativo, de valor $f(1)=0$.

$\textbf{b) Analice la curvatura (concavidad } \boldsymbol{= \cap}\textbf{ y convexidad } \boldsymbol{= \cup}\textbf{) y la existencia de puntos de inflexión en su dominio de definición. Obtenga los puntos de inflexión caso de existir. [1 punto]}$

La curvatura la da el signo de la segunda derivada: positiva significa convexa $(\cup)$ y negativa, cóncava $(\cap)$. Escribimos la primera derivada como suma de potencias para derivarla con comodidad.

$f'(x)=\dfrac{2(x-1)}{x^{3}}=2x^{-2}-2x^{-3}$

$f''(x)=-4x^{-3}+6x^{-4}=\dfrac{-4x+6}{x^{4}}=\dfrac{6-4x}{x^{4}}$

El denominador es una potencia par, luego es positivo en todo el dominio y el signo de $f''$ depende solo del numerador.

$6-4x=0\ \Rightarrow\ x=\dfrac{3}{2}$

$x<\dfrac{3}{2}\ (x\neq0):\ f''(x)>0\ \Rightarrow\ f\ \text{es convexa}\ (\cup)$

$x>\dfrac{3}{2}:\ f''(x)<0\ \Rightarrow\ f\ \text{es cóncava}\ (\cap)$

Hay que dejar fuera el origen, que no pertenece al dominio, aunque la segunda derivada no cambie de signo al atravesarlo. En $x=\frac{3}{2}$ sí se anula y cambia de signo, así que ahí hay un punto de inflexión. Calculamos su ordenada:

$f\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{\left(\frac{3}{2}-1\right)^{2}}{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}}=\dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{4}}=\dfrac{1}{9}$

La función es convexa en $(-\infty,0)\cup\left(0,\frac{3}{2}\right)$ y cóncava en $\left(\frac{3}{2},+\infty\right)$, y tiene un único punto de inflexión, el $\left(\frac{3}{2},\frac{1}{9}\right)$.