Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

Calcule:

$\displaystyle\int e^{-x}(x^{2} - 1)\,dx$

[2 puntos]

El integrando es el producto de un polinomio por una exponencial, así que se resuelve por partes tomando el polinomio como $u$: cada aplicación rebaja su grado en una unidad, y con dos aplicaciones se llega a una integral inmediata.

$\begin{cases}u=x^{2}-1 & du=2x\,dx\\ dv=e^{-x}dx & v=-e^{-x}\end{cases}$

$\displaystyle\int e^{-x}\left(x^{2}-1\right)dx=-e^{-x}\left(x^{2}-1\right)+\int 2x\,e^{-x}dx$

Aplicamos de nuevo la integración por partes a la integral que queda:

$\begin{cases}u=2x & du=2\,dx\\ dv=e^{-x}dx & v=-e^{-x}\end{cases}$

$\displaystyle\int 2x\,e^{-x}dx=-2x\,e^{-x}+\int 2e^{-x}dx=-2x\,e^{-x}-2e^{-x}$

Reuniendo los dos resultados y sacando factor común la exponencial:

$\displaystyle\int e^{-x}\left(x^{2}-1\right)dx=-e^{-x}\left(x^{2}-1\right)-2x\,e^{-x}-2e^{-x}+C$

$=-e^{-x}\left(x^{2}-1+2x+2\right)+C=-e^{-x}\left(x^{2}+2x+1\right)+C=-e^{-x}(x+1)^{2}+C$

Comprobamos derivando el resultado:

$\left[-e^{-x}(x+1)^{2}\right]'=e^{-x}(x+1)^{2}-2e^{-x}(x+1)=e^{-x}(x+1)\left[(x+1)-2\right]=e^{-x}\left(x^{2}-1\right)$

La integral pedida vale $-e^{-x}(x+1)^{2}+C$.