Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule el siguiente límite:

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left[ \sqrt{3x^{2} - 2} - (\sqrt{3}\,x + 5) \right]$

[2 puntos]

Los dos sumandos tienden a $+\infty$, así que aparece la indeterminación $\infty-\infty$. Como uno de ellos es una raíz cuadrada, se multiplica y divide por la expresión conjugada para convertir la diferencia en un cociente.

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left[\sqrt{3x^{2}-2}-\left(\sqrt3\,x+5\right)\right]=\infty-\infty$

$=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\left[\sqrt{3x^{2}-2}-\left(\sqrt3\,x+5\right)\right]\left[\sqrt{3x^{2}-2}+\left(\sqrt3\,x+5\right)\right]}{\sqrt{3x^{2}-2}+\sqrt3\,x+5}$

$=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\left(3x^{2}-2\right)-\left(\sqrt3\,x+5\right)^{2}}{\sqrt{3x^{2}-2}+\sqrt3\,x+5}$

Desarrollamos el cuadrado del numerador:

$\left(\sqrt3\,x+5\right)^{2}=3x^{2}+10\sqrt3\,x+25$

$=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x^{2}-2-3x^{2}-10\sqrt3\,x-25}{\sqrt{3x^{2}-2}+\sqrt3\,x+5}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{-10\sqrt3\,x-27}{\sqrt{3x^{2}-2}+\sqrt3\,x+5}$

Numerador y denominador son ahora infinitos del mismo orden, porque $\sqrt{3x^{2}-2}$ se comporta como $\sqrt3\,x$ cuando $x\to+\infty$. Dividimos por $x$:

$=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{-10\sqrt3-\frac{27}{x}}{\sqrt{3-\frac{2}{x^{2}}}+\sqrt3+\frac{5}{x}}=\dfrac{-10\sqrt3}{\sqrt3+\sqrt3}=\dfrac{-10\sqrt3}{2\sqrt3}=-5$

El límite pedido vale $-5$.