Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Dada la siguiente función:

$f(x) = \begin{cases} \sqrt{-x} + e^{3}, & x \leq 0 \\[1ex] (1 - x)^{a/x}, & x > 0 \end{cases} \qquad a \in \mathbb{R}$

a) Determine los valores de $a \in \mathbb{R}$ para que la función $f(x)$ sea continua en $\mathbb{R}$. [1 punto]

b) Calcule, para $a = 1$, la recta tangente a la función en $x = -4$. [1 punto]

$\textbf{a) Determine los valores de } \boldsymbol{a \in \mathbb{R}}\textbf{ para que la función } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ sea continua en } \boldsymbol{\mathbb{R}}\textbf{. [1 punto]}$

Cada rama está formada por funciones continuas allí donde tienen sentido: la primera es una raíz de radicando $-x\geq0$, que es justo el tramo $x\leq0$, más una constante; la segunda es una potencia de base $1-x$ y exponente $\frac{a}{x}$, definida mientras la base sea positiva, es decir, para $0<x<1$. El único punto donde puede fallar la continuidad es el de empalme, así que allí se comparan los límites laterales con el valor de la función.

$f(0)=\sqrt{0}+e^{3}=e^{3}$

$\displaystyle\lim_{x\to0^{-}}\left(\sqrt{-x}+e^{3}\right)=0+e^{3}=e^{3}$

Por la derecha aparece la indeterminación $1^{\infty}$, ya que la base tiende a 1 y el exponente a infinito. Se resuelve con la fórmula asociada al número $e$:

$\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}(1-x)^{a/x}=e^{\,\Lambda},\qquad \Lambda=\lim_{x\to0^{+}}\dfrac{a}{x}\left[(1-x)-1\right]=\lim_{x\to0^{+}}\dfrac{a}{x}\cdot(-x)=-a$

$\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}f(x)=e^{-a}$

Para que la función sea continua los dos límites laterales han de coincidir con el valor de la función:

$e^{-a}=e^{3}\ \Rightarrow\ -a=3\ \Rightarrow\ a=-3$

La función es continua para $a=-3$; para cualquier otro valor del parámetro presenta en $x=0$ una discontinuidad de salto finito.

$\textbf{b) Calcule, para } \boldsymbol{a = 1}\textbf{, la recta tangente a la función en } \boldsymbol{x = -4}\textbf{. [1 punto]}$

El punto de tangencia tiene abscisa negativa, de modo que la función viene dada por la primera rama y el valor de $a$ no interviene en el cálculo. La recta tangente pasa por el punto de la curva y su pendiente es la derivada en él.

$f(x)=\sqrt{-x}+e^{3}=(-x)^{1/2}+e^{3}$

$f(-4)=\sqrt{4}+e^{3}=2+e^{3}$

$f'(x)=\dfrac{1}{2}(-x)^{-1/2}\cdot(-1)=\dfrac{-1}{2\sqrt{-x}}$

$f'(-4)=\dfrac{-1}{2\sqrt{4}}=-\dfrac{1}{4}$

$y-\left(2+e^{3}\right)=-\dfrac{1}{4}\left(x+4\right)$

$y=-\dfrac{x}{4}-1+2+e^{3}=-\dfrac{x}{4}+1+e^{3}$

La recta tangente a la curva en $x=-4$ es $y=-\frac{x}{4}+1+e^{3}$.