Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2023

En el club deportivo Ares se juegan tres modalidades de raqueta: pádel, tenis y frontón-tenis. Cada socio del club solo puede apuntarse a una única modalidad. El 60 % se apuntó a pádel, el 25 % a tenis y el 15 % a frontón-tenis. En los campeonatos anuales entre clubes deportivos participaron todos los socios del club Ares, de los cuales han conseguido medalla el 21 % de los jugadores de pádel, el 30 % de los jugadores de tenis y el 12 % de los jugadores de frontón-tenis.

a) Calcule la probabilidad de que un jugador de raqueta del club, seleccionado al azar, haya obtenido una medalla. [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de que un jugador con medalla, seleccionado al azar, sea jugador de la modalidad tenis. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que un jugador de raqueta del club, seleccionado al azar, haya obtenido una medalla. [1 punto]}$

Cada socio practica una sola modalidad, de modo que las tres modalidades son sucesos incompatibles dos a dos cuyas probabilidades suman 1: forman un sistema completo de sucesos y se puede aplicar el teorema de la probabilidad total. Nombramos los sucesos:

$P\equiv$ jugar a pádel, $T\equiv$ jugar a tenis, $F\equiv$ jugar a frontón-tenis

$M\equiv$ conseguir medalla

El árbol del problema es:



$P(M)=P(P)\,P(M|P)+P(T)\,P(M|T)+P(F)\,P(M|F)$

$P(M)=0{,}60\cdot0{,}21+0{,}25\cdot0{,}30+0{,}15\cdot0{,}12$

$P(M)=0{,}126+0{,}075+0{,}018=0{,}219$

La probabilidad de que un jugador del club elegido al azar haya conseguido medalla es $0{,}219$, es decir, un $21{,}9\ \%$.

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que un jugador con medalla, seleccionado al azar, sea jugador de la modalidad tenis. [1 punto]}$

Ahora el dato conocido es el final del experimento —el jugador tiene medalla— y se pregunta por la rama del árbol que recorrió. Es una probabilidad condicionada que se calcula con el teorema de Bayes, y en el denominador aparece la probabilidad total del apartado anterior.

$P(T|M)=\dfrac{P(T\cap M)}{P(M)}=\dfrac{P(T)\,P(M|T)}{P(M)}$

$P(T|M)=\dfrac{0{,}25\cdot0{,}30}{0{,}219}=\dfrac{0{,}075}{0{,}219}=\dfrac{25}{73}\approx0{,}3425$

La probabilidad de que un jugador con medalla sea de la modalidad de tenis es $\frac{25}{73}\approx0{,}3425$. Obsérvese que es bastante mayor que el $25\ \%$ que representan los tenistas en el club: es la modalidad con mayor porcentaje de medallas.