Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

De los turistas que llegaron a España el mes pasado, el 35 % visitaron Aragón. Seleccionamos al azar y de manera independiente 7 turistas que llegaron a España el mes pasado.

a) Razone, sin hacer uso de la calculadora: ¿qué es más probable, que 2 de estos turistas visitaran Aragón, o que sean 5 los que visitaron nuestra Comunidad Autónoma? [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de que alguno de los 7 turistas haya visitado Aragón. [1 punto]

$\textbf{a) Razone, sin hacer uso de la calculadora: ¿qué es más probable, que 2 de estos turistas visitaran Aragón, o que sean 5 los que visitaron nuestra Comunidad Autónoma? [1 punto]}$

Se eligen 7 turistas de manera independiente y de cada uno interesa solo si visitó Aragón o no, con la misma probabilidad en todos los casos: es una distribución binomial.

$X\equiv$ número de turistas, de los 7 elegidos, que visitaron Aragón

$X\sim B(7;\,0{,}35)\ \Rightarrow\ P(X=k)=\binom{7}{k}\,0{,}35^{k}\,0{,}65^{7-k}$

$P(X=2)=\binom{7}{2}\,0{,}35^{2}\,0{,}65^{5}\ ;\qquad P(X=5)=\binom{7}{5}\,0{,}35^{5}\,0{,}65^{2}$

Los dos números combinatorios son iguales, porque $\binom{7}{2}=\binom{7}{5}=21$. Basta entonces comparar el resto, y para eso se dividen las dos probabilidades en lugar de calcularlas:

$\dfrac{P(X=2)}{P(X=5)}=\dfrac{0{,}35^{2}\,0{,}65^{5}}{0{,}35^{5}\,0{,}65^{2}}=\dfrac{0{,}65^{3}}{0{,}35^{3}}=\left(\dfrac{0{,}65}{0{,}35}\right)^{3}=\left(\dfrac{13}{7}\right)^{3}$

$\dfrac{13}{7}>1\ \Rightarrow\ \left(\dfrac{13}{7}\right)^{3}>1\ \Rightarrow\ P(X=2)>P(X=5)$

Es más probable que fueran 2 los turistas que visitaron Aragón que no que fueran 5; de hecho el cociente vale $\frac{2197}{343}\approx6{,}4$, así que es unas seis veces y media más probable. El razonamiento es coherente con que la media de la distribución, $\mu=np=7\cdot0{,}35=2{,}45$, está mucho más cerca de 2 que de 5.

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que alguno de los 7 turistas haya visitado Aragón. [1 punto]}$

Que alguno haya visitado Aragón quiere decir uno o más, es decir, $X\geq1$. Sumar los siete casos sería largo; el suceso contrario es que no lo visitara ninguno, que tiene un solo caso.

$P(X\geq1)=1-P(X=0)$

$P(X=0)=\binom{7}{0}\,0{,}35^{0}\,0{,}65^{7}=0{,}65^{7}=0{,}0490$

$P(X\geq1)=1-0{,}0490=0{,}9510$

La probabilidad de que alguno de los 7 turistas haya visitado Aragón es $0{,}9510$, es decir, un $95{,}10\ \%$.