Ejercicio resuelto de Derivadas · Matemáticas II · Aragón · 2023

Para la siguiente función

$f(x) = \dfrac{x^{2}}{x^{2} - 2x + 1}$

a) Indique el dominio de definición y estudie su monotonía. [1 punto]

b) Estudie la curvatura de la función (concavidad $= \cap$ y convexidad $= \cup$) y la existencia de puntos de inflexión, y calcúlelos si existen. [1 punto]

$\textbf{a) Indique el dominio de definición y estudie su monotonía. [1 punto]}$

Es una función racional, así que su dominio son todos los reales salvo los que anulan el denominador.

$x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}=0\ \Rightarrow\ x=1\ \Rightarrow\ \text{Dom}\,f=\mathbb{R}-\{1\}$

La monotonía se estudia con el signo de la primera derivada, que se calcula con la regla del cociente escribiendo antes el denominador como cuadrado perfecto.

$f(x)=\dfrac{x^{2}}{(x-1)^{2}}$

$f'(x)=\dfrac{2x(x-1)^{2}-x^{2}\cdot2(x-1)}{(x-1)^{4}}=\dfrac{2x(x-1)-2x^{2}}{(x-1)^{3}}=\dfrac{-2x}{(x-1)^{3}}$

$f'(x)=0\ \Rightarrow\ -2x=0\ \Rightarrow\ x=0$

Los puntos que separan los intervalos de signo constante son el que anula la derivada, $x=0$, y el que anula su denominador, $x=1$, que además está fuera del dominio. Evaluamos la derivada en un punto de cada intervalo:

$f'(-1)=\dfrac{2}{-8}<0\ ;\qquad f'\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{-1}{-\frac{1}{8}}=8>0\ ;\qquad f'(2)=\dfrac{-4}{1}<0$



La función es decreciente en $(-\infty,0)$ y en $(1,+\infty)$, y creciente en $(0,1)$. Como pasa de decrecer a crecer, en $x=0$ hay un mínimo relativo, que vale $f(0)=0$.

$\textbf{b) Estudie la curvatura de la función (concavidad } \boldsymbol{= \cap}\textbf{ y convexidad } \boldsymbol{= \cup}\textbf{) y la existencia de puntos de inflexión, y calcúlelos si existen. [1 punto]}$

La curvatura la da el signo de la segunda derivada: donde es positiva la función es convexa $(\cup)$ y donde es negativa, cóncava $(\cap)$. Escribimos la primera derivada como potencia para derivarla con más comodidad.

$f'(x)=-2x(x-1)^{-3}$

$f''(x)=-2(x-1)^{-3}+6x(x-1)^{-4}=\dfrac{-2(x-1)+6x}{(x-1)^{4}}=\dfrac{4x+2}{(x-1)^{4}}$

El denominador es una potencia par, luego es positivo en todo el dominio y el signo de $f''$ depende solo del numerador.

$4x+2=0\ \Rightarrow\ x=-\dfrac{1}{2}$

$x<-\dfrac{1}{2}:\ f''(x)<0\ \Rightarrow\ f\ \text{es cóncava}\ (\cap)$

$x>-\dfrac{1}{2}\ (x\neq1):\ f''(x)>0\ \Rightarrow\ f\ \text{es convexa}\ (\cup)$

En $x=-\frac{1}{2}$ la segunda derivada se anula y cambia de signo, de modo que hay un punto de inflexión. Calculamos su ordenada:

$f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\frac{1}{4}}{\left(-\frac{1}{2}-1\right)^{2}}=\dfrac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{4}}=\dfrac{1}{9}$

En $x=1$ no hay punto de inflexión aunque la curvatura no esté definida allí, porque el punto no pertenece al dominio de la función.

La función es cóncava en $\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)$ y convexa en $\left(-\frac{1}{2},1\right)\cup(1,+\infty)$, con un único punto de inflexión en $\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{9}\right)$.