Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2023

Descomponga el número $\sqrt{3}$ en dos sumandos positivos, de forma que la suma de sus respectivos logaritmos en base 3 sea máxima, y calcule esta suma de forma exacta. [2 puntos]

Se llaman $x$ e $y$ a los dos sumandos, que han de ser positivos y sumar $\sqrt3$. La suma que hay que maximizar es la de sus logaritmos en base 3; conviene reunirla en un solo logaritmo, porque el logaritmo es una función creciente y entonces maximizar la suma equivale a maximizar el producto.

$x+y=\sqrt3,\qquad x>0,\ y>0\ \Rightarrow\ y=\sqrt3-x,\qquad 0<x<\sqrt3$

$S(x)=\log_{3}x+\log_{3}y=\log_{3}(xy)=\log_{3}\left[x\left(\sqrt3-x\right)\right]$

Derivamos, teniendo en cuenta que la derivada de $\log_{3}u$ es $\frac{u'}{u\ln3}$:

$S'(x)=\dfrac{\sqrt3-2x}{x\left(\sqrt3-x\right)\ln3}$

En el intervalo de estudio el denominador es positivo, así que el signo de $S'$ es el del numerador:

$S'(x)=0\ \Rightarrow\ \sqrt3-2x=0\ \Rightarrow\ x=\dfrac{\sqrt3}{2}$

A la izquierda de ese punto $\sqrt3-2x>0$ y la función crece; a la derecha $\sqrt3-2x<0$ y decrece. Se trata, por tanto, de un máximo, y por ser el único extremo del intervalo es el máximo absoluto.

$y=\sqrt3-\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{\sqrt3}{2}=x$

Los dos sumandos son iguales. Calculamos ahora el valor exacto de la suma de logaritmos:

$S\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=\log_{3}\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\right)=\log_{3}\dfrac{3}{4}$

$\log_{3}\dfrac{3}{4}=\log_{3}3-\log_{3}4=1-\log_{3}4=1-2\log_{3}2\approx-0{,}2619$

El número $\sqrt3$ se descompone en los dos sumandos iguales $\frac{\sqrt3}{2}$ y $\frac{\sqrt3}{2}$, y la suma máxima de sus logaritmos en base 3 vale exactamente $1-\log_{3}4$.