Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2023

El contenido total en sulfitos (medido en mg/l) del vino que se produce en una bodega sigue una distribución normal de media 150 mg/l y desviación típica 30 mg/l. La bodega se compromete a vender solamente vinos con un contenido total en sulfitos inferior a 200 mg/l, por lo que se desechan para la venta aquellos que superen esta cantidad. Se pide:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un vino producido en la bodega se deseche por la elevada cantidad total de sulfitos? [1 punto]

b) ¿Qué porcentaje de los vinos producidos en esta bodega tienen un contenido total en sulfitos entre 110 y 150 mg/l? [1 punto]

$\textbf{a) ¿Cuál es la probabilidad de que un vino producido en la bodega se deseche por la elevada cantidad total de sulfitos? [1 punto]}$

Llamamos $X$ al contenido total en sulfitos, en mg/l, de un vino de la bodega. Según el enunciado sigue una distribución normal de media 150 y desviación típica 30. Se desechan los vinos que superan los 200 mg/l.

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(150;\,30)$

Para usar la tabla de la normal tipificada se resta la media y se divide por la desviación típica.

$P(X>200)=P\left(Z>\dfrac{200-150}{30}\right)=P(Z>1{,}67)$

La tabla da el área acumulada a la izquierda, así que la cola derecha se obtiene restando de 1:

$P(Z>1{,}67)=1-P(Z\leq1{,}67)=1-0{,}9525=0{,}0475$



La probabilidad de que un vino se deseche por exceso de sulfitos es $0{,}0475$; se desecha, por tanto, alrededor del $4{,}75\ \%$ de la producción.

$\textbf{b) ¿Qué porcentaje de los vinos producidos en esta bodega tienen un contenido total en sulfitos entre 110 y 150 mg/l? [1 punto]}$

El intervalo que se pide va desde 110 hasta la propia media, así que al tipificar queda una franja que termina justo en $z=0$.

$P(110<X<150)=P\left(\dfrac{110-150}{30}<Z<\dfrac{150-150}{30}\right)=P(-1{,}33<Z<0)$

Las tablas solo recogen valores positivos, de modo que se lleva el intervalo al semieje positivo aprovechando la simetría de la campana respecto del eje de ordenadas:

$P(-1{,}33<Z<0)=P(0<Z<1{,}33)=P(Z\leq1{,}33)-P(Z\leq0)$

$=0{,}9082-0{,}5=0{,}4082$



El $40{,}82\ \%$ de los vinos producidos en la bodega tiene un contenido total en sulfitos comprendido entre 110 y 150 mg/l.