Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado el siguiente sistema:

$\left\{\begin{array}{rcrcrcl} -x & & & + & mz & = & 0 \\ & & my & + & 2z & = & 2 + m^{2} \\ x & + & y & & & = & 2m \end{array}\right.$

a) Discuta según los valores de $m \in \mathbb{R}$ qué tipo de sistema es atendiendo a las posibles soluciones (compatible determinado o indeterminado, incompatible). [1,2 puntos]

b) Resuelva el sistema para el valor $m = 2$. [0,8 puntos]

$\textbf{a) Discuta según los valores de } \boldsymbol{m \in \mathbb{R}}\textbf{ qué tipo de sistema es atendiendo a las posibles soluciones (compatible determinado o indeterminado, incompatible). [1,2 puntos]}$

Escribimos la matriz de coeficientes y la ampliada, y aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius comparando sus rangos con el número de incógnitas, que es 3.

$A=\begin{pmatrix}-1&0&m\\0&m&2\\1&1&0\end{pmatrix}\ ;\qquad A^{*}=\left(\begin{array}{ccc|c}-1&0&m&0\\0&m&2&2+m^{2}\\1&1&0&2m\end{array}\right)$

$|A|=\begin{vmatrix}-1&0&m\\0&m&2\\1&1&0\end{vmatrix}=0+0+0-m^{2}-(-2)-0=2-m^{2}$

$2-m^{2}=0\ \Rightarrow\ m=\pm\sqrt{2}$

$\text{Si }m\neq\pm\sqrt{2}:\quad |A|\neq0\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=3=\text{n.º de incógnitas}$

En ese caso el sistema es compatible determinado.

Para $m=\pm\sqrt{2}$ el determinante se anula, pero el menor formado por las dos primeras filas y columnas no:

$\begin{vmatrix}-1&0\\0&m\end{vmatrix}=-m\neq0\quad \text{(porque }m=\pm\sqrt{2}\neq0)\ \Rightarrow\ \operatorname{ran}(A)=2$

Por el teorema del menor orlado, para saber el rango de $A^{*}$ basta orlar ese menor con la fila que falta y con cada una de las dos columnas restantes. Con la tercera columna sale $|A|$, que ya sabemos que es nulo; con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix}-1&0&0\\0&m&2+m^{2}\\1&1&2m\end{vmatrix}=-1\left[2m^{2}-\left(2+m^{2}\right)\right]=-\left(m^{2}-2\right)=2-m^{2}$

Los dos orlados coinciden con $|A|$, de modo que se anulan a la vez:

$m=\pm\sqrt{2}:\quad \operatorname{ran}(A)=\operatorname{ran}(A^{*})=2<3=\text{n.º de incógnitas}$

En ese caso el sistema es compatible indeterminado, con un grado de libertad.

El sistema es, pues, compatible determinado si $m\neq\pm\sqrt{2}$ y compatible indeterminado si $m=\sqrt{2}$ o $m=-\sqrt{2}$. No es incompatible para ningún valor del parámetro.

$\textbf{b) Resuelva el sistema para el valor } \boldsymbol{m = 2}\textbf{. [0,8 puntos]}$

Para $m=2$ se tiene $|A|=2-4=-2\neq0$, así que el sistema es compatible determinado y tiene solución única.

$\begin{cases}-x+2z=0\\2y+2z=6\\x+y=4\end{cases}$

Despejamos $x$ de la primera ecuación e $y$ de la segunda, y llevamos ambas a la tercera:

$x=2z\ ;\qquad y=3-z$

$2z+3-z=4\ \Rightarrow\ z=1$

$x=2\cdot1=2\ ;\qquad y=3-1=2$

Comprobamos la solución en las tres ecuaciones de partida:

$-2+2\cdot1=0\ ;\qquad 2\cdot2+2\cdot1=6=2+2^{2}\ ;\qquad 2+2=4=2\cdot2$

La solución única del sistema para $m=2$ es $(x,y,z)=(2,2,1)$.