Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Dada la siguiente función

$f(x) = \dfrac{2x - 1}{\sqrt{x^{2} - x - 2}}$

a) Estudie y escriba su dominio de definición. [0,75 puntos]

b) Estudie la existencia de asíntotas y ramas parabólicas. Determine las asíntotas caso de existir. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Estudie y escriba su dominio de definición. [0,75 puntos]}$

La expresión tiene una raíz cuadrada en el denominador, y eso impone dos condiciones a la vez: el radicando no puede ser negativo, para que la raíz exista, y tampoco puede ser cero, para que el denominador no se anule. Las dos juntas obligan a que el radicando sea estrictamente positivo.

$x^{2}-x-2>0$

Buscamos las raíces del polinomio y estudiamos su signo:

$x^{2}-x-2=0\ \Rightarrow\ x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\dfrac{1\pm3}{2}\ \Rightarrow\ \begin{cases}x=2\\x=-1\end{cases}\ \Rightarrow\ x^{2}-x-2=(x+1)(x-2)$

Al ser una parábola con las ramas hacia arriba, el polinomio es positivo fuera de las raíces y negativo entre ellas. Lo comprobamos evaluando en un punto de cada intervalo:

$x=-2:\ 4+2-2=4>0\ ;\qquad x=0:\ -2<0\ ;\qquad x=3:\ 9-3-2=4>0$

El dominio de definición de la función es $\text{Dom}\,f=(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)$.

$\textbf{b) Estudie la existencia de asíntotas y ramas parabólicas. Determine las asíntotas caso de existir. [1,25 puntos]}$

Las asíntotas verticales solo pueden estar en los puntos que quedan fuera del dominio pero son extremos de él, es decir, en $x=-1$ y $x=2$; se comprueban con los límites laterales que tienen sentido.

$\displaystyle\lim_{x\to-1^{-}}\dfrac{2x-1}{\sqrt{x^{2}-x-2}}=\dfrac{-3}{0^{+}}=-\infty\ \Rightarrow\ x=-1\ \text{es asíntota vertical}$

$\displaystyle\lim_{x\to2^{+}}\dfrac{2x-1}{\sqrt{x^{2}-x-2}}=\dfrac{3}{0^{+}}=+\infty\ \Rightarrow\ x=2\ \text{es asíntota vertical}$

Los otros dos límites laterales no se estudian porque la función no está definida a la derecha de $-1$ ni a la izquierda de $2$.

Para las asíntotas horizontales hay que llevar cuidado con la raíz: al meter $x$ dentro de ella sale $|x|$, que vale $x$ si $x\to+\infty$ y $-x$ si $x\to-\infty$. Por eso los dos límites son distintos.

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x-1}{\sqrt{x^{2}-x-2}}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x\left(2-\frac{1}{x}\right)}{x\sqrt{1-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}}}=\dfrac{2}{1}=2$

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{2x-1}{\sqrt{x^{2}-x-2}}=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{x\left(2-\frac{1}{x}\right)}{-x\sqrt{1-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^{2}}}}=\dfrac{2}{-1}=-2$

Hay, por tanto, dos asíntotas horizontales distintas: $y=2$ por la derecha e $y=-2$ por la izquierda.

Al existir asíntota horizontal en ambos infinitos, la función no tiene asíntotas oblicuas ni ramas parabólicas: una rama parabólica aparece cuando la función tiende a infinito al alejarse el punto, y aquí se mantiene acotada.



En resumen, $f$ tiene dos asíntotas verticales, $x=-1$ y $x=2$, y dos horizontales, $y=2$ cuando $x\to+\infty$ e $y=-2$ cuando $x\to-\infty$; no hay asíntotas oblicuas ni ramas parabólicas.