Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Calcule el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones $f(x) = -x^{2} + 4x$ y la recta de pendiente $\dfrac{1}{2}$ que corta a $f(x)$ en $x = \dfrac{7}{2}$. [2 puntos]

El enunciado no da la recta directamente, sino su pendiente y un punto por el que pasa: el de la curva de abscisa $\frac{7}{2}$. Se determina primero esa recta, después sus cortes con la parábola —que delimitan el recinto— y por último se integra la diferencia entre la función que va por arriba y la que va por abajo.

$f\left(\dfrac{7}{2}\right)=-\left(\dfrac{7}{2}\right)^{2}+4\cdot\dfrac{7}{2}=-\dfrac{49}{4}+14=\dfrac{7}{4}$

$y-\dfrac{7}{4}=\dfrac{1}{2}\left(x-\dfrac{7}{2}\right)\ \Rightarrow\ y=\dfrac{x}{2}-\dfrac{7}{4}+\dfrac{7}{4}=\dfrac{x}{2}$

La recta pasa, pues, por el origen. Igualamos las dos funciones para hallar los extremos del recinto:

$-x^{2}+4x=\dfrac{x}{2}\ \Rightarrow\ -x^{2}+\dfrac{7x}{2}=0\ \Rightarrow\ x\left(-x+\dfrac{7}{2}\right)=0\ \Rightarrow\ \begin{cases}x=0\\x=\dfrac{7}{2}\end{cases}$

Para saber cuál de las dos gráficas queda por encima basta evaluarlas en un punto intermedio, por ejemplo $x=1$:

$f(1)=3>\dfrac{1}{2}$











La parábola va por encima de la recta en todo el intervalo, de modo que el área es la integral de la diferencia, en ese orden.

$\mathcal{A}=\displaystyle\int_{0}^{7/2}\left[\left(-x^{2}+4x\right)-\dfrac{x}{2}\right]dx$





Calculamos la integral y aplicamos la regla de Barrow.

$\mathcal{A}=\displaystyle\int_{0}^{7/2}\left(-x^{2}+\dfrac{7x}{2}\right)dx=\left[-\dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{7x^{2}}{4}\right]_{0}^{7/2}$

$=-\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{343}{8}+\dfrac{7}{4}\cdot\dfrac{49}{4}-0=-\dfrac{343}{24}+\dfrac{343}{16}$

$=343\left(\dfrac{1}{16}-\dfrac{1}{24}\right)=343\cdot\dfrac{3-2}{48}=\dfrac{343}{48}\approx7{,}1458$

El área del recinto limitado por la parábola y la recta es de $\frac{343}{48}\approx7{,}1458$ unidades de área.