Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule el siguiente límite

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{(x + 1)^{2}}{x^{2} + 3x + 1} \right]^{\ln x}$

[2 puntos]

Al sustituir, la base tiende a 1 y el exponente a $+\infty$: es la indeterminación $1^{\infty}$. Se resuelve con la fórmula que se deduce del número $e$, según la cual el límite es $e$ elevado al límite del producto del exponente por la base menos uno.

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{(x+1)^{2}}{x^{2}+3x+1}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^{2}+2x+1}{x^{2}+3x+1}=1$

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left[\dfrac{(x+1)^{2}}{x^{2}+3x+1}\right]^{\ln x}=e^{\,\Lambda},\qquad \Lambda=\lim_{x\to+\infty}\ln x\left[\dfrac{(x+1)^{2}}{x^{2}+3x+1}-1\right]$

Operamos dentro del corchete poniendo denominador común:

$\dfrac{(x+1)^{2}}{x^{2}+3x+1}-1=\dfrac{x^{2}+2x+1-x^{2}-3x-1}{x^{2}+3x+1}=\dfrac{-x}{x^{2}+3x+1}$

$\Lambda=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{-x\ln x}{x^{2}+3x+1}$

El numerador es un infinito de orden $1$ multiplicado por un logaritmo, y el denominador es de orden $2$. Como el logaritmo es un infinito de orden inferior a cualquier potencia de $x$, el denominador gana:

$\Lambda=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{-x\ln x}{x^{2}+3x+1}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{-\ln x}{x+3+\frac{1}{x}}=0$

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left[\dfrac{(x+1)^{2}}{x^{2}+3x+1}\right]^{\ln x}=e^{0}=1$

El límite pedido vale 1.