Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Sea la siguiente función

$f(x) = \begin{cases} a\,x - \dfrac{\operatorname{sen} x}{x} + 2, & x \neq 0 \\[2ex] 2, & x = 0 \end{cases} \qquad a \in \mathbb{R}$

a) Estudie su continuidad en $\mathbb{R}$ según los valores de $a$. [1 punto]

b) Calcule el valor de $a$ para que $f(x)$ tenga un extremo relativo en $x = -\dfrac{\pi}{2}$ y diga de qué tipo de extremo se trata. [1 punto]

$\textbf{a) Estudie su continuidad en } \boldsymbol{\mathbb{R}}\textbf{ según los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{. [1 punto]}$

Para $x\neq0$ la función es suma de un polinomio y del cociente de dos funciones continuas cuyo denominador no se anula, así que es continua en $\mathbb{R}-\{0\}$ sea cual sea $a$. Queda por estudiar el origen, donde hay que comparar el valor de la función con su límite.

$f(0)=2$

$\displaystyle\lim_{x\to0}\left(a\,x-\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}+2\right)=a\cdot0-\lim_{x\to0}\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}+2$

El límite del cociente es una indeterminación $\frac{0}{0}$; por la regla de L'Hôpital, o recordando que es un límite tipo,

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}=\lim_{x\to0}\dfrac{\cos x}{1}=1$

$\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=0-1+2=1$

El parámetro $a$ desaparece del límite, porque va multiplicando a $x$, que tiende a cero. Por tanto:

$\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=1\neq2=f(0)\qquad \forall a\in\mathbb{R}$

Sea cual sea el valor de $a$, la función es continua en $\mathbb{R}-\{0\}$ y presenta en $x=0$ una discontinuidad evitable, porque el límite existe y es finito pero no coincide con el valor de la función. No hay ningún valor de $a$ que la haga continua en todo $\mathbb{R}$.

$\textbf{b) Calcule el valor de } \boldsymbol{a}\textbf{ para que } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ tenga un extremo relativo en } \boldsymbol{x = -\dfrac{\pi}{2}}\textbf{ y diga de qué tipo de extremo se trata. [1 punto]}$

La condición necesaria para que una función derivable tenga un extremo relativo en un punto es que su derivada se anule en él. Se calcula, pues, la derivada, se impone que valga cero en $x=-\frac{\pi}{2}$ y después se decide el tipo de extremo con el signo de la segunda derivada.

$f'(x)=a-\dfrac{x\cos x-\operatorname{sen}x}{x^{2}}=a-\dfrac{\cos x}{x}+\dfrac{\operatorname{sen}x}{x^{2}}$

$\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=0\ ;\qquad \operatorname{sen}\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=-1$

$f'\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=a-0+\dfrac{-1}{\frac{\pi^{2}}{4}}=a-\dfrac{4}{\pi^{2}}$

$a-\dfrac{4}{\pi^{2}}=0\ \Rightarrow\ a=\dfrac{4}{\pi^{2}}\approx0{,}4053$

Derivamos otra vez. El término $a$ desaparece, de modo que la segunda derivada no depende del parámetro:

$f''(x)=\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}+\dfrac{2\cos x}{x^{2}}-\dfrac{2\operatorname{sen}x}{x^{3}}$

$f''\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{-1}{-\frac{\pi}{2}}+0-\dfrac{2\cdot(-1)}{-\frac{\pi^{3}}{8}}=\dfrac{2}{\pi}-\dfrac{16}{\pi^{3}}=\dfrac{2\pi^{2}-16}{\pi^{3}}\approx0{,}1206$

$f''\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)>0\ \Rightarrow\ \text{mínimo relativo}$

Para $a=\frac{4}{\pi^{2}}$ la función tiene en $x=-\frac{\pi}{2}$ un extremo relativo, y por ser positiva la segunda derivada se trata de un mínimo relativo.