Ejercicio resuelto de Distribución binomial · Matemáticas II

El 84 % de los exámenes de Matemáticas II de la fase genérica en la convocatoria ordinaria de la EvAU en 2022 en Aragón obtuvieron una nota mayor o igual a 5.

a) Si seleccionamos aleatoriamente 15 de aquellos exámenes, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 2 tengan una nota inferior a 5? [0,8 puntos]

b) Con los 15 exámenes anteriores, ¿es más probable que menos de 2 exámenes tengan nota inferior a 5 o que más de 2 exámenes tengan nota inferior a 5? [1,2 puntos]

$\textbf{a) Si seleccionamos aleatoriamente 15 de aquellos exámenes, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 2 tengan una nota inferior a 5? [0,8 puntos]}$

Se repite 15 veces un mismo experimento con dos resultados posibles —el examen tiene nota inferior a 5 o no la tiene—, la probabilidad de éxito es la misma en todas las repeticiones y estas son independientes. Se trata, pues, de una distribución binomial. Llamamos éxito a lo que se cuenta en la pregunta:

$X\equiv$ número de exámenes, de los 15 elegidos, con nota inferior a 5

Si el $84\ \%$ obtuvo una nota mayor o igual a 5, el $16\ \%$ restante la obtuvo inferior:

$p=1-0{,}84=0{,}16\ \Rightarrow\ X\sim B(15;\,0{,}16)$

$P(X=k)=\binom{15}{k}\,0{,}16^{k}\,0{,}84^{15-k}$

$P(X=2)=\binom{15}{2}\,0{,}16^{2}\,0{,}84^{13}=105\cdot0{,}0256\cdot0{,}1037=0{,}2787$

La probabilidad de que exactamente 2 de los 15 exámenes tengan nota inferior a 5 es $0{,}2787$, es decir, un $27{,}87\ \%$.

$\textbf{b) Con los 15 exámenes anteriores, ¿es más probable que menos de 2 exámenes tengan nota inferior a 5 o que más de 2 exámenes tengan nota inferior a 5? [1,2 puntos]}$

Hay que comparar $P(X<2)$ con $P(X>2)$. La primera solo tiene dos sumandos y se calcula directamente; la segunda es el complementario de los tres primeros casos, así que se obtiene restando de 1 sin sumar los doce términos restantes.

$P(X<2)=P(X=0)+P(X=1)$

$P(X=0)=\binom{15}{0}\,0{,}16^{0}\,0{,}84^{15}=0{,}84^{15}=0{,}0731$

$P(X=1)=\binom{15}{1}\,0{,}16^{1}\,0{,}84^{14}=15\cdot0{,}16\cdot0{,}0871=0{,}2090$

$P(X<2)=0{,}0731+0{,}2090=0{,}2821$

$P(X>2)=1-P(X\leq2)=1-\left[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)\right]$

$P(X>2)=1-\left(0{,}0731+0{,}2090+0{,}2787\right)=1-0{,}5608=0{,}4392$

$P(X>2)=0{,}4392>0{,}2821=P(X<2)$

Es más probable que más de 2 exámenes tengan nota inferior a 5 —ocurre en algo más del $43\ \%$ de las muestras de 15 exámenes— que no que sean menos de 2, que ocurre en algo más del $28\ \%$.