Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2024

Halle la ecuación de un plano que es perpendicular a la recta dada por los planos $\begin{cases} 2x + y - z = 0 \\ x - y + z = -3 \end{cases}$ y además pasa por el punto $(3, 2, 1)$. [2 puntos]

La recta viene dada como intersección de dos planos, así que su vector director es perpendicular a las dos normales a la vez: se obtiene con el producto vectorial de ambas. Y como el plano que se busca ha de ser perpendicular a la recta, ese director es precisamente su vector normal.











$\vec n_{1}=(2,1,-1)\ ;\qquad \vec n_{2}=(1,-1,1)$

$\vec v_{r}=\vec n_{1}\times\vec n_{2}=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\2&1&-1\\1&-1&1\end{vmatrix}$

$\vec v_{r}=(1-1)\vec i-(2+1)\vec j+(-2-1)\vec k=(0,-3,-3)$





El vector obtenido puede simplificarse dividiendo por $-3$, porque un vector normal está determinado salvo un factor no nulo:

$\vec n_{\pi}=\vec v_{r}=(0,-3,-3)\parallel(0,1,1)$

Con la normal ya se puede escribir la ecuación general del plano, en la que solo queda por determinar el término independiente:

$\pi:\ 0\cdot x+1\cdot y+1\cdot z+D=0\ \Rightarrow\ \pi:\ y+z+D=0$

Imponemos que pase por el punto $(3,2,1)$:

$2+1+D=0\ \Rightarrow\ D=-3$

Un plano perpendicular a la recta dada que pasa por el punto $(3,2,1)$ es $\pi:\ y+z-3=0$. Obsérvese que la condición de perpendicularidad fija la dirección del plano pero no su posición, y es el punto el que lo determina de forma única.