Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2024

En una cristalería, a un cristal rectangular de 120 centímetros de alto y 70 centímetros de ancho se le ha cortado por error la esquina superior derecha como se ve en el dibujo. Quieren recortar dicho cristal nuevamente de forma rectangular, de modo que la superficie sea la máxima posible haciendo como máximo dos cortes. ¿Cuáles serán las dimensiones del nuevo cristal rectangular recortado? [2 puntos]

Situamos el cristal en unos ejes con el origen en su vértice inferior izquierdo, de manera que ocupa el rectángulo de $70$ cm de ancho por $120$ cm de alto al que se le ha quitado el triángulo de la esquina superior derecha. El corte une los puntos $(60,120)$ y $(70,90)$; la recta que lo contiene tiene por pendiente

$m=\dfrac{90-120}{70-60}=\dfrac{-30}{10}=-3\ \Rightarrow\ y-120=-3(x-60)\ \Rightarrow\ y=300-3x$

Cualquier rectángulo de lados paralelos a los del cristal que quepa dentro de él puede trasladarse hasta apoyar su vértice inferior izquierdo en el origen sin salirse y sin cambiar de área, porque el trozo que falta está arriba y a la derecha. Basta, pues, estudiar los rectángulos con un vértice en el origen, que quedan determinados por su vértice superior derecho $(x,y)$.











$A=x\,y,\qquad 0<x\leq70$

Si $x\leq60$ el rectángulo no llega al corte y puede alcanzar toda la altura del cristal: $y=120$.

Si $60\leq x\leq70$ el vértice se apoya sobre la arista inclinada: $y=300-3x$.





Se estudian los dos casos por separado.

En el primero, $A(x)=120x$ con $0<x\leq60$, que es creciente; su mayor valor se alcanza en el extremo derecho del intervalo:

$A(60)=120\cdot60=7200\ \text{cm}^{2}$

En el segundo, $A(x)=x(300-3x)=300x-3x^{2}$ con $60\leq x\leq70$. Buscamos sus puntos críticos:

$A'(x)=300-6x$

$A'(x)=0\ \Rightarrow\ x=50$

El único punto crítico cae fuera del intervalo de estudio. Como $A'(x)=300-6x<0$ para todo $x>50$, la función es decreciente en todo $[60,70]$ y su máximo está de nuevo en el extremo izquierdo:

$A(60)=60\cdot120=7200\ \text{cm}^{2}\ ;\qquad A(70)=70\cdot90=6300\ \text{cm}^{2}$

Los dos casos coinciden en el mismo valor, que es por tanto el máximo absoluto: recortar por la vertical $x=60$ es mejor que aprovechar cualquier punto de la arista inclinada, y también mejor que recortar por la horizontal $y=90$.

El cristal recortado de superficie máxima mide $60$ cm de ancho por $120$ cm de alto, y su área es de $7200\ \text{cm}^{2}$. Basta con un único corte vertical.