Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

Calcule el área encerrada por las gráficas de las funciones $f(x) = x + 6$ y $g(x) = \begin{cases} -2x & \text{si } x < 0 \\ x^{2} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$. [2 puntos]

Para calcular el área encerrada entre dos gráficas hay que localizar primero sus puntos de corte, que son los que delimitan el recinto, y averiguar después cuál de las dos funciones queda por encima. Como $g$ está definida a trozos, el corte se busca en cada tramo por separado y el recinto se parte en dos.

En el tramo $x<0$, donde $g(x)=-2x$:

$x+6=-2x\ \Rightarrow\ 3x=-6\ \Rightarrow\ x=-2$

El valor obtenido es negativo, así que es válido; el punto de corte es $(-2,4)$.

En el tramo $x\geq0$, donde $g(x)=x^{2}$:

$x+6=x^{2}\ \Rightarrow\ x^{2}-x-6=0\ \Rightarrow\ x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\dfrac{1\pm5}{2}\ \Rightarrow\ \begin{cases}x=3\\x=-2\end{cases}$

Se descarta $x=-2$ por no pertenecer a este tramo, y queda el punto de corte $(3,9)$.

Para saber qué función va por arriba basta evaluar en un punto interior de cada tramo, por ejemplo $x=-1$ y $x=2$:

$f(-1)=5>2=g(-1)\ ;\qquad f(2)=8>4=g(2)$

La recta queda por encima de $g$ en todo el recinto, que es el de la figura.











$\mathcal{A}=\displaystyle\int_{-2}^{0}\left[(x+6)-(-2x)\right]dx+\int_{0}^{3}\left[(x+6)-x^{2}\right]dx$

El recinto se parte en $x=0$, que es donde cambia la definición de $g$.





Calculamos por separado cada una de las dos integrales y aplicamos la regla de Barrow.

$\displaystyle\int_{-2}^{0}(3x+6)\,dx=\left[\dfrac{3x^{2}}{2}+6x\right]_{-2}^{0}=0-\left(6-12\right)=6$

$\displaystyle\int_{0}^{3}\left(-x^{2}+x+6\right)dx=\left[-\dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{x^{2}}{2}+6x\right]_{0}^{3}=-9+\dfrac{9}{2}+18=\dfrac{27}{2}$

$\mathcal{A}=6+\dfrac{27}{2}=\dfrac{39}{2}=19{,}5$

El área encerrada por las dos gráficas es de $\frac{39}{2}=19{,}5$ unidades de área.