Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Estudie la existencia del siguiente límite y calcúlelo en caso de existir:

$\displaystyle\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2) \cdot (3x^{5} + 5x^{4} - 7x^{3} + 2x^{2} - x + 3) + 2}{3 - (x^{2} - 4) \cdot \sqrt{\operatorname{sen}(2x^{2}) + (\cos(x))^{2} + \log(x + 5)}}$

[2 puntos]

Antes de manipular nada conviene sustituir, porque la apariencia del cociente engaña: el factor $(x-2)$ del numerador y el factor $(x^{2}-4)$ del denominador se anulan en $x=2$, pero ninguno de los dos está solo, sino sumado a una constante.

Estudiamos primero el radicando, que ha de ser positivo para que la raíz —y con ella la función— esté definida en un entorno de $x=2$:

$\operatorname{sen}\left(2\cdot2^{2}\right)+\left(\cos 2\right)^{2}+\log(2+5)=\operatorname{sen}(8)+\cos^{2}(2)+\log 7$

Los tres sumandos están acotados y su suma es un número positivo (aproximadamente $3{,}11$ midiendo los ángulos en radianes), luego la raíz es un número real y la función del denominador es continua en $x=2$. En realidad su valor exacto no hace falta: va multiplicado por $x^{2}-4$, que se anula.

$\displaystyle\lim_{x\to2}\left[(x-2)\cdot\left(3x^{5}+5x^{4}-7x^{3}+2x^{2}-x+3\right)+2\right]=0\cdot 77+2=2$

$\displaystyle\lim_{x\to2}\left[3-\left(x^{2}-4\right)\cdot\sqrt{\operatorname{sen}\left(2x^{2}\right)+\left(\cos x\right)^{2}+\log(x+5)}\right]=3-0\cdot\sqrt{3{,}11\ldots}=3$

No hay, por tanto, ninguna indeterminación: numerador y denominador tienen límite finito y el del denominador no es nulo. El límite del cociente es el cociente de los límites.

$\displaystyle\lim_{x\to2}\dfrac{(x-2)\left(3x^{5}+5x^{4}-7x^{3}+2x^{2}-x+3\right)+2}{3-\left(x^{2}-4\right)\sqrt{\operatorname{sen}\left(2x^{2}\right)+\left(\cos x\right)^{2}+\log(x+5)}}=\dfrac{2}{3}$

El límite existe y vale $\frac{2}{3}$.