Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Dada la siguiente función

$f(x) = \begin{cases} a - \cos(x) & x \leq 0 \\[1ex] x^{2} - b\operatorname{sen}\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right) & x > 0 \end{cases} \qquad a,\, b \in \mathbb{R}$

a) Estudie su continuidad en $\mathbb{R}$ según los valores de $a$ y $b$. [1 punto]

b) Para $a = 1$, calcule el valor de $b$ para que, en el punto con $x = \dfrac{\pi}{2}$, la función tenga la recta tangente $y = \dfrac{\pi}{2}x$. [1 punto]

$\textbf{a) Estudie su continuidad en } \boldsymbol{\mathbb{R}}\textbf{ según los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{. [1 punto]}$

Conviene simplificar antes la segunda rama. Por la fórmula del seno de una suma, o sin más que recordar que el seno adelantado un cuarto de vuelta es el coseno:

$\operatorname{sen}\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=\cos(x)\ \Rightarrow\ f(x)=\begin{cases}a-\cos(x) & x\leq0\\ x^{2}-b\cos(x) & x>0\end{cases}$

Las dos ramas están formadas por polinomios y funciones trigonométricas, continuas en todo $\mathbb{R}$, luego $f$ es continua en $(-\infty,0)$ y en $(0,+\infty)$ cualesquiera que sean $a$ y $b$. El único punto que hay que estudiar es el de empalme.

$f(0)=a-\cos(0)=a-1$

$\displaystyle\lim_{x\to0^{-}}f(x)=\lim_{x\to0^{-}}\left[a-\cos(x)\right]=a-1$

$\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}f(x)=\lim_{x\to0^{+}}\left[x^{2}-b\cos(x)\right]=0-b\cdot1=-b$

El límite por la izquierda ya coincide con el valor de la función, así que la continuidad depende únicamente de que también lo haga el límite por la derecha:

$a-1=-b\ \Rightarrow\ a+b=1$

Si $a+b=1$ la función es continua en todo $\mathbb{R}$. Si $a+b\neq1$ los dos límites laterales son finitos pero distintos, de modo que $f$ es continua en $\mathbb{R}-\{0\}$ y presenta en $x=0$ una discontinuidad de salto finito, de amplitud $\left|a-1+b\right|$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{a = 1}\textbf{, calcule el valor de } \boldsymbol{b}\textbf{ para que, en el punto con } \boldsymbol{x = \dfrac{\pi}{2}}\textbf{, la función tenga la recta tangente } \boldsymbol{y = \dfrac{\pi}{2}x}\textbf{. [1 punto]}$

El punto $x=\frac{\pi}{2}$ es positivo, así que la función viene dada por la segunda rama y el valor de $a$ no interviene. La recta tangente en un punto tiene por pendiente la derivada de la función en él, de modo que basta imponer que esa derivada valga $\frac{\pi}{2}$, que es la pendiente de la recta dada.

$f(x)=x^{2}-b\operatorname{sen}\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)\ \Rightarrow\ f'(x)=2x-b\cos\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)=2x+b\operatorname{sen}(x)$

$f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=2\cdot\dfrac{\pi}{2}+b\operatorname{sen}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\pi+b$

$\pi+b=\dfrac{\pi}{2}\ \Rightarrow\ b=\dfrac{\pi}{2}-\pi=-\dfrac{\pi}{2}$

Falta comprobar que, además de tener la pendiente correcta, la recta pasa de verdad por el punto de la curva:

$f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^{2}-b\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\pi^{2}}{4}-b\cdot0=\dfrac{\pi^{2}}{4}$

$y=\dfrac{\pi}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{\pi^{2}}{4}$

Ambos valores coinciden sea cual sea $b$, porque el coseno se anula en $\frac{\pi}{2}$; la condición de tangencia se reduce, pues, a la de la pendiente.

El valor pedido es $b=-\frac{\pi}{2}$.