Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Analizamos en un comercio los precios de tres artículos A, B y C. El producto A es de primera necesidad y tiene un tipo superreducido de IVA del 4 %; el producto B es de alimentación y tiene un tipo reducido de IVA del 10 % y el artículo C es un pequeño electrodoméstico cuyo tipo de IVA es del 21 %. El precio total sin IVA de la compra de 1 artículo A de primera necesidad, 2 productos B de alimentación y 5 pequeños electrodomésticos C es de 483 €. Mientras que el total de IVA correspondiente a la compra de 100 artículos de primera necesidad A, 10 productos de alimentación B y 100 pequeños electrodomésticos C, es de 1954 €. Además, se sabe que el precio sin IVA del pequeño electrodoméstico es igual al precio sin IVA de cuatro artículos de primera necesidad más ocho artículos de alimentación.

Calcule los precios a la venta de los tres artículos, teniendo en cuenta que el precio a la venta es el precio con IVA incluido. [2 puntos]

Se llaman $x$, $y$ y $z$ a los precios sin IVA, en euros, de un artículo A, de uno B y de uno C, respectivamente. Cada una de las tres informaciones del enunciado se traduce en una ecuación lineal; el sistema que forman da los precios sin IVA, y el precio de venta se obtiene después aplicando a cada uno su tipo impositivo.

La primera compra da el precio total sin IVA:

$x+2y+5z=483$

La segunda da el IVA total, que es el 4 % del precio de los artículos A, el 10 % del de los B y el 21 % del de los C:

$100\cdot0{,}04x+10\cdot0{,}10y+100\cdot0{,}21z=1954\ \Rightarrow\ 4x+y+21z=1954$

La tercera relaciona los precios sin IVA de los tres artículos:

$z=4x+8y$

El sistema que hay que resolver es, pues:

$\begin{cases}x+2y+5z=483\\4x+y+21z=1954\\z=4x+8y\end{cases}$

Como la tercera ecuación ya da $z$ despejada, resolvemos por sustitución. Llevándola a la primera:

$x+2y+5(4x+8y)=483\ \Rightarrow\ 21x+42y=483\ \Rightarrow\ x+2y=23$

Llevándola a la segunda:

$4x+y+21(4x+8y)=1954\ \Rightarrow\ 88x+169y=1954$

Despejando $x=23-2y$ de la primera relación y sustituyendo en la segunda:

$88(23-2y)+169y=1954\ \Rightarrow\ 2024-176y+169y=1954\ \Rightarrow\ -7y=-70\ \Rightarrow\ y=10$

$x=23-2\cdot10=3\ ;\qquad z=4\cdot3+8\cdot10=92$

Comprobamos las dos primeras ecuaciones:

$3+2\cdot10+5\cdot92=3+20+460=483\ ;\qquad 4\cdot3+10+21\cdot92=12+10+1932=1954$

Los precios sin IVA son, por tanto, $3$ €, $10$ € y $92$ €. Aplicando a cada artículo su tipo de IVA se obtienen los precios a la venta:

$\text{Artículo A}:\ 3\cdot1{,}04=3{,}12$ €

$\text{Artículo B}:\ 10\cdot1{,}10=11$ €

$\text{Artículo C}:\ 92\cdot1{,}21=111{,}32$ €

El artículo de primera necesidad A se vende a $3{,}12$ €, el producto de alimentación B a $11$ € y el pequeño electrodoméstico C a $111{,}32$ €.