Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2024

Demuestre que, entre todos los rectángulos de perímetro $P$ cm, el de mayor área es el cuadrado. [2 puntos]

Se llaman $x$ e $y$ a las dimensiones, en centímetros, de un rectángulo cualquiera de perímetro $P$. El perímetro es un dato fijo, de modo que sirve para escribir una de las dos variables en función de la otra; el área queda entonces como función de una sola variable y se busca su máximo absoluto.











$2x+2y=P\ \Rightarrow\ y=\dfrac{P-2x}{2}=\dfrac{P}{2}-x$

$A(x)=x\,y=x\left(\dfrac{P}{2}-x\right)=\dfrac{P}{2}x-x^{2},\qquad 0<x<\dfrac{P}{2}$

El dominio es abierto porque los dos lados han de ser positivos.





Buscamos los puntos críticos de la función área anulando su derivada.

$A'(x)=\dfrac{P}{2}-2x$

$A'(x)=0\ \Rightarrow\ \dfrac{P}{2}-2x=0\ \Rightarrow\ x=\dfrac{P}{4}$

Para comprobar que ese único punto crítico es un máximo se recurre a la segunda derivada:

$A''(x)=-2<0\qquad \forall x$

La segunda derivada es negativa en todo el dominio, luego en $x=\frac{P}{4}$ hay un máximo relativo, y por ser el único extremo de una función continua en el intervalo se trata del máximo absoluto.

Calculamos la otra dimensión:

$y=\dfrac{P}{2}-\dfrac{P}{4}=\dfrac{P}{4}=x$

Los dos lados miden lo mismo, de modo que el rectángulo de área máxima entre todos los de perímetro $P$ es el cuadrado de lado $\frac{P}{4}$ cm, cuya área vale $\frac{P^{2}}{16}\ \text{cm}^{2}$, como se quería demostrar.