Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

a) Calcule $a$, $b$ y $c \in \mathbb{R}$ tales que la función

$f(x) = a\,x + b\operatorname{sen}(x)\cos(x) + c$

sea una primitiva de $g(x) = \operatorname{sen}^{2}(x)$. Recuerde que $\operatorname{sen}^{2}(x) + \cos^{2}(x) = 1 \quad \forall x \in \mathbb{R}$. [1,2 puntos]

b) Sabiendo que $\operatorname{sen}(2x) = 2\operatorname{sen}(x)\cos(x)$, demuestre que

$\cos(2x) = \cos^{2}(x) - \operatorname{sen}^{2}(x)$

[0,8 puntos]

$\textbf{a) Calcule } \boldsymbol{a}\textbf{, } \boldsymbol{b}\textbf{ y } \boldsymbol{c \in \mathbb{R}}\textbf{ tales que la función } \boldsymbol{f(x) = a\,x + b\operatorname{sen}(x)\cos(x) + c}\textbf{ sea una primitiva de } \boldsymbol{g(x) = \operatorname{sen}^{2}(x)}\textbf{. [1,2 puntos]}$

Que $f$ sea una primitiva de $g$ significa que $f'(x)=g(x)$ para todo $x\in\mathbb{R}$. Derivamos $f$, usamos la relación fundamental de la trigonometría para dejar la derivada escrita solo en función de $\operatorname{sen}^{2}(x)$ e identificamos coeficientes.

$f'(x)=a+b\left[\cos(x)\cos(x)+\operatorname{sen}(x)\left(-\operatorname{sen}(x)\right)\right]=a+b\left[\cos^{2}(x)-\operatorname{sen}^{2}(x)\right]$

$\cos^{2}(x)=1-\operatorname{sen}^{2}(x)\ \Rightarrow\ f'(x)=a+b\left[1-2\operatorname{sen}^{2}(x)\right]=(a+b)-2b\operatorname{sen}^{2}(x)$

Para que esta expresión coincida con $\operatorname{sen}^{2}(x)$ en todo $\mathbb{R}$ deben coincidir el coeficiente de $\operatorname{sen}^{2}(x)$ y el término independiente:

$\begin{cases}-2b=1\\a+b=0\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases}b=-\dfrac{1}{2}\\[1ex] a=\dfrac{1}{2}\end{cases}$

La constante $c$ desaparece al derivar, luego no queda determinada: cualquier valor real de $c$ sirve, y cada uno de ellos da una primitiva distinta de $g$.

Comprobamos el resultado derivando la función obtenida:

$f(x)=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}\operatorname{sen}(x)\cos(x)+c\ \Rightarrow\ f'(x)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\left[\cos^{2}(x)-\operatorname{sen}^{2}(x)\right]=\operatorname{sen}^{2}(x)$

Los valores pedidos son $a=\frac{1}{2}$, $b=-\frac{1}{2}$ y $c$ cualquier número real.

$\textbf{b) Sabiendo que } \boldsymbol{\operatorname{sen}(2x) = 2\operatorname{sen}(x)\cos(x)}\textbf{, demuestre que } \boldsymbol{\cos(2x) = \cos^{2}(x) - \operatorname{sen}^{2}(x)}\textbf{. [0,8 puntos]}$

Basta derivar la igualdad de partida. Si dos funciones son iguales en todo $\mathbb{R}$, sus derivadas también lo son, y la derivada del primer miembro hace aparecer $\cos(2x)$.

$\operatorname{sen}(2x)=2\operatorname{sen}(x)\cos(x)\qquad \forall x\in\mathbb{R}$

Derivamos el primer miembro aplicando la regla de la cadena:

$\dfrac{d}{dx}\left[\operatorname{sen}(2x)\right]=2\cos(2x)$

Derivamos el segundo miembro aplicando la regla del producto:

$\dfrac{d}{dx}\left[2\operatorname{sen}(x)\cos(x)\right]=2\left[\cos(x)\cos(x)+\operatorname{sen}(x)\left(-\operatorname{sen}(x)\right)\right]=2\left[\cos^{2}(x)-\operatorname{sen}^{2}(x)\right]$

Igualando ambas derivadas y simplificando el factor 2:

$2\cos(2x)=2\left[\cos^{2}(x)-\operatorname{sen}^{2}(x)\right]\ \Rightarrow\ \cos(2x)=\cos^{2}(x)-\operatorname{sen}^{2}(x)$

Queda así demostrada la igualdad pedida.