Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Calcule justificadamente el siguiente límite

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left[ \sqrt{x^{2} + 5} - (x + 2) \right]$

[2 puntos]

Al sustituir directamente, los dos sumandos tienden a infinito y aparece la indeterminación $\infty-\infty$. Como uno de ellos es una raíz cuadrada, la vía habitual es multiplicar y dividir por la expresión conjugada, que convierte la diferencia en un cociente.

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left[\sqrt{x^{2}+5}-(x+2)\right]=\infty-\infty$

$=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\left[\sqrt{x^{2}+5}-(x+2)\right]\left[\sqrt{x^{2}+5}+(x+2)\right]}{\sqrt{x^{2}+5}+(x+2)}$

En el numerador aparece una suma por diferencia, que es la diferencia de los cuadrados:

$=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\left(x^{2}+5\right)-(x+2)^{2}}{\sqrt{x^{2}+5}+x+2}$

$=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^{2}+5-x^{2}-4x-4}{\sqrt{x^{2}+5}+x+2}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1-4x}{\sqrt{x^{2}+5}+x+2}$

Ahora la indeterminación es del tipo $\frac{\infty}{\infty}$. Numerador y denominador son infinitos del mismo orden, porque la raíz $\sqrt{x^{2}+5}$ se comporta como $x$ cuando $x\to+\infty$. Dividimos numerador y denominador por $x$, que es positivo y puede entrar dentro de la raíz como $x^{2}$:

$=\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\dfrac{1}{x}-4}{\sqrt{\dfrac{x^{2}+5}{x^{2}}}+1+\dfrac{2}{x}}=\dfrac{0-4}{\sqrt{1}+1+0}=\dfrac{-4}{2}=-2$

El límite pedido vale $-2$.