Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas II

Dada la siguiente función

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^{2x} - 1}{x} & \text{si } x \neq 0 \\[2ex] a & \text{si } x = 0 \end{cases} \qquad a \in \mathbb{R}$

a) Estudie su continuidad en $\mathbb{R}$ según los valores de $a$. [1 punto]

b) Para el valor de $a = 1$, calcule los puntos de corte de la recta tangente a la curva en $x = 1$ con los ejes $OX$ y $OY$. [1 punto]

$\textbf{a) Estudie su continuidad en } \boldsymbol{\mathbb{R}}\textbf{ según los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{. [1 punto]}$

La función está definida a trozos, de modo que se estudia primero el tramo en el que viene dada por una sola expresión y después, por separado, el punto en el que cambia de definición.

Para $x\neq0$ la función es el cociente de una exponencial y un polinomio, ambas continuas en todo $\mathbb{R}$, y el denominador no se anula. Por tanto $f$ es continua en $\mathbb{R}-\{0\}$ sea cual sea el valor de $a$.

En $x=0$ hay que comparar el valor de la función con su límite.

$f(0)=a$

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^{2x}-1}{x}=\dfrac{e^{0}-1}{0}=\dfrac{0}{0}$

Se trata de una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$; aplicando la regla de L'Hôpital:

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^{2x}-1}{x}=\lim_{x\to0}\dfrac{2e^{2x}}{1}=2$

El límite existe y vale 2, así que la continuidad en el origen depende únicamente de que $a$ coincida con él.

$\text{Si }a=2:\quad f(0)=2=\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)\ \Rightarrow\ f\ \text{es continua en }x=0$

$\text{Si }a\neq2:\quad f(0)=a\neq2=\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)\ \Rightarrow\ f\ \text{es discontinua en }x=0$

Como el límite existe y es finito, cuando $a\neq2$ la discontinuidad es evitable: bastaría redefinir la función en el origen.

Para $a=2$ la función es continua en todo $\mathbb{R}$; para cualquier otro valor de $a$ es continua en $\mathbb{R}-\{0\}$ y presenta en $x=0$ una discontinuidad evitable.

$\textbf{b) Para el valor de } \boldsymbol{a = 1}\textbf{, calcule los puntos de corte de la recta tangente a la curva en } \boldsymbol{x = 1}\textbf{ con los ejes } \boldsymbol{OX}\textbf{ y } \boldsymbol{OY}\textbf{. [1 punto]}$

El punto de tangencia es $x=1$, donde la función viene dada por la primera rama, así que el valor de $a$ no interviene en el cálculo. La recta tangente pasa por el punto de la curva y tiene por pendiente la derivada en él.

$f(1)=\dfrac{e^{2}-1}{1}=e^{2}-1$

Derivamos aplicando la regla del cociente:

$f'(x)=\dfrac{2e^{2x}\cdot x-\left(e^{2x}-1\right)\cdot 1}{x^{2}}=\dfrac{2xe^{2x}-e^{2x}+1}{x^{2}}$

$f'(1)=\dfrac{2e^{2}-e^{2}+1}{1}=e^{2}+1$

La ecuación de la recta tangente en el punto $\left(1,\,e^{2}-1\right)$ es:

$y-\left(e^{2}-1\right)=\left(e^{2}+1\right)(x-1)$

$y=\left(e^{2}+1\right)x-e^{2}-1+e^{2}-1=\left(e^{2}+1\right)x-2$

El corte con el eje $OY$ se obtiene haciendo $x=0$:

$y=\left(e^{2}+1\right)\cdot0-2=-2\ \Rightarrow\ (0,-2)$

El corte con el eje $OX$ se obtiene haciendo $y=0$:

$\left(e^{2}+1\right)x-2=0\ \Rightarrow\ x=\dfrac{2}{e^{2}+1}\approx0{,}2384\ \Rightarrow\ \left(\dfrac{2}{e^{2}+1},\,0\right)$

La recta tangente es $y=\left(e^{2}+1\right)x-2$ y corta a los ejes en los puntos $(0,-2)$ y $\left(\frac{2}{e^{2}+1},0\right)$.