Ejercicio resuelto de Física cuántica · Física · 2020

Sobre el efecto fotoeléctrico, conteste a las siguientes cuestiones:

a) ¿Qué es la frecuencia umbral?

b) El trabajo de extracción del sodio es $2{,}5\ \text{eV}$ y el del potasio es $2{,}0\ \text{eV}$. ¿Experimentarán estos dos metales efecto fotoeléctrico cuando se iluminen con luz verde cuya longitud de onda es $\lambda = 5{,}36 \cdot 10^{-7}\ \text{m}$?

Datos: velocidad de la luz, $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$; constante de Planck, $h = 6{,}63 \cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$; $1\ \text{eV} = 1{,}60 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$.

$\textbf{a) ¿Qué es la frecuencia umbral?}$










La frecuencia umbral de un metal es la frecuencia mínima que debe tener la radiación incidente para que se produzca el efecto fotoeléctrico, es decir, para que se arranquen electrones de su superficie.

Según la explicación de Einstein, cada electrón absorbe un único fotón, cuya energía se reparte así:

$h\,f = W_0 + E_{c,\max}$





El caso límite es aquel en que el fotón tiene justo la energía necesaria para arrancar el electrón, que sale entonces con velocidad nula:

$h\,f_0 = W_0\;\Rightarrow\; f_0 = \dfrac{W_0}{h}$

Por debajo de esa frecuencia no hay emisión, por intensa que sea la radiación: aumentar la intensidad significa enviar más fotones, pero si cada uno es demasiado poco energético, ninguno logra arrancar un electrón. Esta es precisamente la observación que la física clásica no podía explicar y que resolvió la hipótesis de los cuantos.

$\textbf{b) ¿Experimentarán estos dos metales efecto fotoeléctrico cuando se iluminen con luz verde cuya longitud de onda es } \boldsymbol{\lambda = 5{,}36\cdot10^{-7}\ \text{m}}\textbf{?}$

Se calcula la energía de los fotones de esa luz:

$E = h\dfrac{c}{\lambda} = 6{,}63\cdot10^{-34}\cdot\dfrac{3\cdot10^{8}}{5{,}36\cdot10^{-7}}$

$E = 3{,}71\cdot10^{-19}\ \text{J}$

Y se expresa en electronvoltios para poder compararla directamente con los trabajos de extracción:

$E = \dfrac{3{,}71\cdot10^{-19}}{1{,}60\cdot10^{-19}} = 2{,}32\ \text{eV}$

Ahora basta comparar con cada metal.

Sodio, con $W_0 = 2{,}5\ \text{eV}$:

$E = 2{,}32\ \text{eV} < 2{,}5\ \text{eV}$

No se produce efecto fotoeléctrico. El fotón no tiene energía suficiente para arrancar el electrón, y como cada electrón solo puede absorber un fotón, no hay forma de acumular energía de varios.

Potasio, con $W_0 = 2{,}0\ \text{eV}$:

$E = 2{,}32\ \text{eV} > 2{,}0\ \text{eV}$

Sí se produce efecto fotoeléctrico. Los electrones salen con una energía cinética máxima:

$E_{c,\max} = E - W_0 = 2{,}32 - 2{,}0 = 0{,}32\ \text{eV}$

$E_{c,\max} = 0{,}32\cdot1{,}60\cdot10^{-19} = 5{,}1\cdot10^{-20}\ \text{J}$