Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2020

Se dice que un satélite está en órbita geoestacionaria cuando mantiene su posición sobre el mismo punto del ecuador terrestre. Calcule la altura de la órbita geoestacionaria sobre la superficie en función de la constante de gravitación, de la masa, del radio y de la velocidad angular de la Tierra.

Un satélite geoestacionario debe permanecer sobre el mismo punto del ecuador, lo que exige que gire con la misma velocidad angular que la Tierra:

$\omega_{\text{satélite}} = \omega_T$

La única fuerza que actúa sobre él es la atracción gravitatoria, que hace de fuerza centrípeta de su órbita circular.





Aplicando la segunda ley de Newton, con la aceleración centrípeta expresada en función de la velocidad angular:

$G\dfrac{M_T\,m}{r^2} = m\,\omega_T^2\,r$

Se simplifica la masa del satélite, que no interviene —cualquier satélite, sea cual sea su masa, debe estar a la misma altura—, y se despeja el radio de la órbita:

$\dfrac{G\,M_T}{r^2} = \omega_T^2\,r\;\Rightarrow\; r^3 = \dfrac{G\,M_T}{\omega_T^2}$

$r = \sqrt[3]{\dfrac{G\,M_T}{\omega_T^2}}$

La altura sobre la superficie es esa distancia menos el radio terrestre, ya que el radio de la órbita se mide desde el centro del planeta:

$h = r - R_T$

$h = \sqrt[3]{\dfrac{G\,M_T}{\omega_T^2}} - R_T$

que es la expresión pedida, en función de la constante de gravitación, de la masa, del radio y de la velocidad angular de la Tierra.

Conviene señalar que la velocidad angular que hay que usar es la de rotación de la Tierra respecto de las estrellas, es decir, la correspondiente al día sidéreo de $86\,164\ \text{s}$:

$\omega_T = \dfrac{2\pi}{T_{\text{rot}}}$

Con los valores habituales —$M_T = 5{,}98\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $R_T = 6{,}37\cdot10^{6}\ \text{m}$— la expresión da $h \approx 3{,}6\cdot10^{7}\ \text{m}$, unos $36\,000\ \text{km}$, que es la altura a la que orbitan los satélites de comunicaciones.