Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · 2020

Dos conductores paralelos muy largos están separados una distancia $d = 4\ \text{cm}$ y conducen corriente en sentidos opuestos. El conductor situado a la izquierda transporta $I_1 = 8\ \text{A}$ en sentido saliente, mientras que la corriente $I_2 = 2\ \text{A}$ del situado a la derecha tiene sentido entrante (ver figura).

a) Dibuje un esquema indicando cuál es la dirección y el sentido del campo magnético en un punto situado entre los dos conductores y equidistante de ambos.

b) Calcule el valor del campo magnético en el punto al que se refiere el apartado a).

c) Calcule la fuerza por unidad de longitud que estos conductores ejercen entre sí. ¿En qué sentido apunta?

Dato: $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}\ \text{N}\cdot\text{A}^{-2}$.

$\textbf{a) Dibuje un esquema indicando cuál es la dirección y el sentido del campo magnético en un punto situado entre los dos conductores y equidistante de ambos.}$










El campo magnético creado por un conductor rectilíneo indefinido tiene por líneas circunferencias concéntricas con él, y su sentido lo da la regla de la mano derecha: con el pulgar en el sentido de la corriente, los dedos indican el sentido del campo.





En el punto medio, el conductor de la izquierda tiene la corriente saliente, y a su derecha su campo apunta hacia arriba, en el plano del papel y perpendicular a la línea que une los conductores.

El conductor de la derecha tiene la corriente entrante, y a su izquierda su campo apunta también hacia arriba.

Los dos campos tienen, por tanto, la misma dirección y el mismo sentido, y se suman. Este es el resultado característico de dos corrientes antiparalelas: en la región intermedia sus campos se refuerzan, mientras que con corrientes del mismo sentido se restarían.

$\textbf{b) Calcule el valor del campo magnético en el punto al que se refiere el apartado a).}$

El módulo del campo de cada conductor a la distancia del punto medio, $d/2 = 2\ \text{cm}$, es:

$B = \dfrac{\mu_0\,I}{2\pi\,r}$

$B_1 = \dfrac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot8}{2\pi\cdot0{,}02} = 8\cdot10^{-5}\ \text{T}$

$B_2 = \dfrac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot2}{2\pi\cdot0{,}02} = 2\cdot10^{-5}\ \text{T}$

Como ambos tienen el mismo sentido, el campo total es su suma:

$B = B_1 + B_2 = 8\cdot10^{-5} + 2\cdot10^{-5}$

$B = 1{,}0\cdot10^{-4}\ \text{T}$

$\textbf{c) Calcule la fuerza por unidad de longitud que estos conductores ejercen entre sí. ¿En qué sentido apunta?}$

Cada conductor está inmerso en el campo creado por el otro, y sobre él aparece la fuerza magnética $\vec F = I\,\vec L\times\vec B$. Combinando esa expresión con la del campo de un hilo indefinido se obtiene la fuerza por unidad de longitud entre dos conductores paralelos:

$\dfrac{F}{L} = \dfrac{\mu_0\,I_1\,I_2}{2\pi\,d}$

$\dfrac{F}{L} = \dfrac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot8\cdot2}{2\pi\cdot0{,}04}$

$\dfrac{F}{L} = 8\cdot10^{-5}\ \text{N/m}$

En cuanto al sentido, las corrientes circulan en sentidos opuestos —una saliente y otra entrante—, de modo que la fuerza es repulsiva: cada conductor es empujado en la dirección de la recta que los une y alejándose del otro.

Obsérvese que ambas fuerzas tienen el mismo módulo, aunque las intensidades sean distintas, como exige el tercer principio de la dinámica de Newton. La expresión es simétrica en $I_1$ e $I_2$ precisamente por eso.